Question

16．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAD=30°，AC=BC=AD，CE⊥CD，且CE=CD，連接BD、DE、BE．
（1）∠ECA的度數(shù)；
（2）求證：BE=BC；
（3）求證：AD⊥BE；
（4）求證：CD=BD．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)：∠CAD=30°，AC=BC=AD，利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理即可求出∠ECA=165°；
（2）根據(jù)CE⊥CD，∠ECA=165°，利用SAS求證△ACD≌△BCE即可得出結(jié)論；
（3）根據(jù)∠ACB=90°，∠CAD=30°，AC=BC，利用等腰三角形的性質(zhì)和△ACD≌△BCE，求出∠CBE=30°，然后即可得出結(jié)論；
（4）過D作DM⊥AC于M，過D作DN⊥BC于N．由∠CAD=30°，可得CM=$\frac{1}{2}$AC，求證△CMD≌△CND，可得CN=DM=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$BC，從而得出CN=BN．然后即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵∠CAD=30°，AC=BC=AD，
∴∠ACD=∠ADC=$\frac{1}{2}$（180°-30°）=75°，
∵CE⊥CD，
∴∠DCE=90°，
∴∠ECA=165°；
（2）∵CE⊥CD，∠ECA=165°（已證），
∴∠BCE=∠ECA-∠ACB=165-90=75°，
在△ACD與△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴BE=BC；
（3）∵∠ACB=90°，∠CAD=30°，AC=BC，
∴∠CAB=∠ABC=45°
∴∠BAD=∠BAC-∠CAD=45-30=15°，
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CBE=30°，
∴∠ABF=45+30=75°，
∴∠AFB=180-15-75=90°，
∴AD⊥BE．
（4）如圖，
過D作DM⊥AC于M，過D作DN⊥BC于N．
∵∠CAD=30°，且DM=$\frac{1}{2}$AC，
∵AC=AD，∠CAD=30°，
∴∠ACD=75°，
∴∠NCD=90°-∠ACD=15°，∠MDC=∠DMC-∠ACD=15°，
在△CMD和△CND中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CMD=∠CND}\\{∠MDC=∠NCD}\\{CD=CD}\end{array}\right.$，
∴△CMD≌△CND，
∴CN=DM=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$BC，
∴CN=BN．
∵DN⊥BC，
∴BD=CD．

點評 此題主要考查等腰直角三角形，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，含30度角的直角三角形等知識點的理解和掌握，此題有一定的拔高難度，屬于難題．