Question

如圖，在Rt△ABC中，已知∠ACB=90°，O為BC邊上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OB為半徑作半圓與AB邊交于點(diǎn)D，連接CD，若CD恰好是⊙O的切線(xiàn)：
（1）求證：△CAD是等腰三角形；
（2）若AC=3，BC=5，求⊙O的半徑r．

Answer 1

（1）證明：連接OD，則∠1=∠2，
∵CD是⊙O的切線(xiàn)，
∴∠CDO=90°，
∴∠1與∠4互余，
在Rt△ABC中，∠2與∠3互余，
∴∠3=∠4，
∴AC=CD，
即△CAD為等腰三角形．

（2）解：由（1）知，AC=CD=3，
又BC=5，所以O(shè)C=5-r，
在Rt△CDO中：CD²+OD²=CO²，
即3²+r²=（5-r）²，
解得r=1.6．
分析：（1）連接OD，根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)，∠CDO=90°，所以∠1與∠4互余，又因?yàn)椤鰽BC是直角三角形，所以∠2與∠3互余，在圓中半徑相等，所以∠1=∠2，從而證得∠3=∠4，所以△CAD是等腰三角形．
（2）利用（1）的結(jié)論，知道DC=3，在Rt△CDO中，利用勾股定理，列出方程，即可求出r．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的切線(xiàn)性質(zhì)，及解直角三角形的知識(shí)．運(yùn)用切線(xiàn)的性質(zhì)來(lái)進(jìn)行計(jì)算或論證，常通過(guò)作輔助線(xiàn)連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問(wèn)題．