Question

銳角△ABC的頂角A的平分線交BC邊于L，又交三角形的外接圓于N，過L分別作AB和AC邊的垂線LK和LM，垂足為K和M，
求證：四邊形AKNM的面積等于△ABC的面積．

Answer 1

證明：過N點作AB，AC的垂線，垂足分別為E、F，
∵∠BAN=∠NAF，
∴NE=NF，AN=AN，BN=CN，
∴Rt△AEN≌Rt△AFN，
∴AE=AF，
∴Rt△BEN≌Rt△FCN，
∴BE=CF，
∴2AE=AB+AC，
又∵△AKL∽△AEN，得到AE：AK=NE：KL，
∴AE=，代入①式得到，
2×=AB+AC，
即2AK•NE=（AB+AC）•KL②
②式兩邊都乘以2之后，左邊是四邊形AKNM的面積，右邊是三角形ABC面積，
由此可得四邊形AKNM的面積等于△ABC的面積．
分析：（1）過N點作AB，AC的垂線，垂足分別為E、F，易知AE=AF，由三角形全等易知BE=CF，從而可以得到2AE=AB+AC①
（2）由△AKL與△AEN相似，得到AE：AK=NE：KL，所以AE=AK•，代入①式得到2AK•NE=（AB+AC）•KL②
②式兩邊都乘以2之后，左邊是四邊形AKNM的面積，右邊是三角形ABC面積，由此得證
點評：此題主要考查了角平分線的性質(zhì)，直角三角形的判定，相似三角形的判定等，題目綜合性較強(qiáng)．