Question

7．已知，四邊形ABCD為正方形，E，F(xiàn)分別在BC，CD上，△AEF為等邊三角形，G為CD上一點，EG平分∠AGC，求證：AG=FG+EG．

Answer 1

分析 如圖延長GC使得GM=GA，連接AM，EM，AM交EG于O，在GA上截取GK=FG，連接FK，先證明△EFM是等腰直角三角形，再利用“8字型”證明∠FGH=∠AEH=60°，再證明△AFK≌△EFG即可解決問題．

解答 證明：如圖延長GC使得GM=GA，連接AM，EM，AM交EG于O，在GA上截取GK=FG，連接FK．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠D=∠B=∠DCB=90°，
∵△AEF是等邊三角形，
∴AE=AF=EF，∠EAF=∠AEF=∠AFE=60°，
∵EG平分∠AGC，
∴GE垂直平分AM，
∴EA=EM=EF，
在RT△ADF和RT△ABE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{AF=AE}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△ABE，
∴DF=BE，CF=CE，
∴∠EFC=∠FEC=∠EMF=45°，
∵∠GAM=∠GMA，∠EAM=∠EMA，
∴∠GAE=∠EMG=45°=∠GFH，
∵∠GFH+∠FHG+∠FGH=180°，∠HAE+∠AEH+∠AHE=180°，∠FHG=∠EHA，
∴∠FGH=∠AEF=60°，
∴∠AEG=∠EGC=60°，
∵GK=FG，∠FGK=60°，
∴△FGK是等邊三角形，
∴FK=FG=GK，∠GFK=∠AFE=60°，
∴∠AFK=∠EFG，
在△AFK和△EFG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=EF}\\{∠AFK=∠EFG}\\{FK=FG}\end{array}\right.$，
∴△AFK≌△EFG，
∴AK=EG，
∴AG=AK+GK=GE+GF．

點評 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造特殊三角形以及全等三角形，難度比較大，屬于中考壓軸題．