Question

（2013•揚(yáng)州）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，弦AD⊥AB交BC于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作⊙O的切線交DA的延長線于點(diǎn)F，且∠ABF=∠ABC．
（1）求證：AB=AC；
（2）若AD=4，cos∠ABF=

4

5

，求DE的長．

Answer 1

分析：（1）由BF是⊙O的切線，利用弦切角定理，可得∠3=∠C，又由∠ABF=∠ABC，可證得∠2=∠C，即可得AB=AC；
（2）首先連接BD，在Rt△ABD中，解直角三角形求出AB的長度；然后在Rt△ABE中，解直角三角形求出AE的長度；最后利用DE=AD-AE求得結(jié)果．

解答：（1）證明：∵BF是⊙O的切線，
∴∠3=∠C，
∵∠ABF=∠ABC，
即∠3=∠2，
∴∠2=∠C，
∴AB=AC；

（2）解：如圖，連接BD，在Rt△ADB中，∠BAD=90°，
∵cos∠ADB=

AD

BD

，∴BD=

AD

cos∠ADB

=

AD

cos∠ABF

=

4

4 5

=5，
∴AB=3．
在Rt△ABE中，∠BAE=90°，
∵cos∠ABE=

AB

BE

，∴BE=

AB

cos∠ABE

=

3

4 5

=

15

4

，
∴AE=

( 15 4 )2-32

=

9

4

，
∴DE=AD-AE=4-

9

4

=

7

4

．

點(diǎn)評：此題考查了切線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理以及三角函數(shù)等知識．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．