Question

14．如圖，⊙O過?ABCD的頂點A，D，C，邊AB與⊙O相切于點A，邊BC與⊙O相交于點H．
（1）求證：AB=AH；
（2）若AB=2，AD=$\sqrt{17}$，求sin∠BAH的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形可知：∠AHB=∠D，由平行四邊形的性質(zhì)可知：∠B=∠D，從而可證明AB=AH．
（2）連接OA并延長OA交CD于E，交⊙O于點F，連接HF，由垂徑定理可求出DE=1，由勾股定理可求AE，從而可求出AF的長度，易證∠BAH=∠F，從而可知sin∠BAH=$\frac{AH}{AF}$．

解答 解：（1）圓內(nèi)接四邊形可知：∠AHB=∠D，
由平行四邊形的性質(zhì)可知：∠B=∠D，
∴∠AHB=∠B，
∴AB=AH
（2）連接OA并延長OA交CD于E，交⊙O于點F，連接HF，
∵AB是⊙O的切線，
∴∠BAE=90°，
∵AB∥CD，AB=CD=2，
∴∠AED=90°，
由垂徑定理可知：DE=$\frac{1}{2}$CD=1，
∴由勾股定理可知：AE=4，
連接OD
設OA=OD=r，
∴OE=4-r，
在Rt△ODE中，
∴r²=（4-r）²+1，
解得：r=$\frac{17}{8}$，
∴AF=2r=$\frac{17}{4}$，
∵AF是⊙O的直徑，
∴∠BAH+∠FAH=∠F+∠FAH=90°，
∴∠BAH=∠F，
∵AB=AH=2，
∴sin∠BAH=sin∠F=$\frac{AH}{AF}$=$\frac{2}{\frac{17}{4}}$=$\frac{8}{17}$

點評 本題考查圓的綜合問題，解題的關鍵是構(gòu)造輔助線，利用垂徑定理以及勾股定理求解，本題屬于中等題型．