Question

如圖，AB是⊙O直徑，D為⊙O上一點(diǎn)，AT平分∠BAD交⊙O于點(diǎn)T，過T作AD的垂線交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C．

(1)求證∶CT為⊙O的切線；

(2)若⊙O半徑為2，CT＝，求AD的長(zhǎng)．

Answer 1

答案：
解析：

分析∶(1)連接OT，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，以及直角三角形的兩個(gè)銳角互余，證得CT⊥OT，CT為⊙O的切線； 　　(2)證明四邊形OTCE為矩形，求得OE的長(zhǎng)，在直角△OAE中，利用勾股定理即可求解． 　　解答∶(1)證明∶連接OT， 　　∵OA＝OT， 　　∴∠OAT＝∠OTA， 　　又∵AT平分∠BAD， 　　∴∠DAT＝∠OAT， 　　∴∠DAT＝∠OTA， 　　∴OT∥AC，(3分) 　　又∵CT⊥AC， 　　∴CT⊥OT， 　　∴CT為⊙O的切線；(5分) 　　(2)解∶過O作OE⊥AD于E，則E為AD中點(diǎn)， 　　又∵CT⊥AC， 　　∴OE∥CT， 　　∴四邊形OTCE為矩形，(7分) 　　∵CT＝， 　　∴OE＝， 　　又∵OA＝2， 　　∴在Rt△OAE中，， 　　∴AD＝2AE＝2．(10分) 　　點(diǎn)評(píng)∶本題主要考查了切線的判定以及性質(zhì)，證明切線時(shí)可以利用切線的判定定理把問題轉(zhuǎn)化為證明垂直的問題．

提示：

考點(diǎn)∶切線的判定與性質(zhì)；勾股定理；圓周角定理．