Question

數(shù)學(xué)課上，張老師出示了問(wèn)題：如圖1，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，∠AEF = 90°，且EF交正方形外角∠DCG的平行線CF于點(diǎn)F , 求證：AE=EF .經(jīng)過(guò)思考，小明展示了一種正確的解題思路：取AB的中點(diǎn)M，連結(jié)ME，則AM = EC ，

易證△AME ≌△ECF ，所以AE = EF .    在此基礎(chǔ)上，同學(xué)們作了進(jìn)一步的研究：

1.小穎提出：如圖2，如果把“點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)”改為“點(diǎn)E是邊BC上（除B，C外）的任意一點(diǎn)”，其它條件不變，那么結(jié)論“AE = EF ”仍然成立，你認(rèn)為小穎的觀點(diǎn)正確嗎？如果正確，寫(xiě)出證明過(guò)程；如果不正確，請(qǐng)說(shuō)明理由

2.小華提出：如圖3，點(diǎn)E是BC的延長(zhǎng)線上（除C點(diǎn)外）的任意一點(diǎn)，其他條件不變，結(jié)論“AE = EF ”仍然成立. 你認(rèn)為小華的觀點(diǎn)正確嗎？如果正確，寫(xiě)出證明過(guò)程；如果不正確，請(qǐng)說(shuō)明理由.

 

Answer 1

 

1.正確

2.正確

解析:解：（1）正確.

          證明：在AB上取一點(diǎn)M，使AM=EC，連結(jié)ME，

     ∴BM=BE.  ∴∠BME=45°.   ∴∠AME=135°.

∵CF是外角平分線，                             

∴∠DCF = 45°.  ∴∠ECF = 135°.

∴∠AME = ∠ECF .

∵∠AEB +∠BAE=90°，∠AEB + ∠CEF = 90°,

∴∠BAE = ∠CEF.

∴△AME ≌△ECF（ASA).

∴AE=EF. 

（2）正確.

    證明：

    在BA的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)N，

    使AN=CE，連接NE.

    ∴BN=BE.

∴∠N=∠FCE=45°.

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD∥BE .  ∴∠DAE=∠BEA.

∴∠NAE=∠CEF .   ∴△ANE≌△ECF（ASA).

∴AE=EF.