Question

如圖，C是⊙O的直徑AB延長線上一點，點D在⊙O上，且∠A=30°，∠BDC=∠ABD．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）若OF∥AD分別交BD、CD于E、F，BD=2，求OE及CF的長．

Answer 1

（1）證明：連接OD．
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°．
∵∠A=30°，∴∠ABD=60°．
∴∠BDC=∠ABD=30°．
∵OD=OB，
∴△ODB是等邊三角形．
∴∠ODB=60°．
∴∠ODC=∠ODB+∠BDC=90°．
即OD⊥DC．
∴CD是⊙O的切線；

（2）解：∵OF∥AD，∠ADB=90°，
∴OF⊥BD，∠BOE=∠A=30°．
∴DE=BE=BD=1．
在Rt△OEB中，OB=2BE=2，．
∵OD=OB=2，∠C=∠ABD-∠BDC=30°，∠DOF=30°，
∴CD=2，DF=OD•tan30°=．
∴CF=CD-DF=2-=．
分析：（1）連接OD，由已知條件和等邊三角形的判定和等邊三角形的性質(zhì)即可證明OD⊥DC，進(jìn)而證明CD是⊙O的切線；
（2）利用平行線的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)可以先求出DE=1，再利用勾股定理和銳角三角函數(shù)即可求出OE的長和CF的長．
點評：本題考查了切線的判定、等邊三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理的運用，要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．