Question

如圖，直線y=-x=1交x軸于A點，交y軸于B點，正方形CDEF的邊長為1，點C、點Dx軸上，且C（2，0）．直線AB以每秒2個單位的速度沿y軸向上平移，交x軸于A′，交y軸于B′．同時正方形CDEF以每秒1個單位的速度沿x軸向右平移得正方形C′D′E′F′，設(shè)移動的時間為t秒．
（1）求點A、點E的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)t為何值時，點A′與點C′重合？點A′與點D′重合？點E′在直線A′B′上？
（3）若△OA′B′與正方形C′D′E′F′重合部分的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍．

Answer 1

解：（1）在y=-x+1中，令y=0，得x=1則A的坐標(biāo)是：（1，0）；
∵C（2，0）．
∴OC=2，
∴OD=OC+CD=2+1=3，
則E的坐標(biāo)是：（3，1）；

（2）∵△OAB是等腰直角三角形，
∴AB以每秒2個單位的速度沿y軸向上平移，則A向右移動的速度是每秒2個單位．
根據(jù)題意得：1+2t=2+t，解得：t=1
故t=1時，A′與C′重合；
當(dāng)1+2t=3+t，解得：t=2，
則當(dāng)t=2時，A′與D′重合；
當(dāng)點E′在直線A′B′上時，△E′D′A′構(gòu)成等腰直角三角形，則1+2t-1=3+t，解得：t=3，
即當(dāng)t=3時，E′在直線A′B′上；

（3）1＜t≤2時，重合部分是等腰直角三角形，A′C′=1+2t-（2+t）=t-1，
則S=（t-1）²=t²-t+；
2＜t≤3時，S=1-（3-t）²=-t²+3t-
t＞3時，正方形形C′D′E′F′在△OA′B′內(nèi)部，則S=1．
分析：（1）在y=-x+1中，令y=0，求得x，即可得到A的橫坐標(biāo)，則A的坐標(biāo)可以得到；求得OD的長即可求得E的橫坐標(biāo)，E的縱坐標(biāo)是1，則E的坐標(biāo)可以求得；
（2）設(shè)移動的時間為t秒，則OA′=1+2t，OC′=2+t，OD′=3+t，點A′與點C′重合？點A′與點D′重合？點E′在直線A′B′上時，分別列方程即可求得對應(yīng)的t的值；
（3）分1＜t≤2，2＜t≤3和t＞3三種情況進行討論，利用三角形的面積公式即可求解．
點評：本題考查了一次函數(shù)正方形的性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，正確理解OA′、OC′、OD′的長度是關(guān)鍵．