Question

15．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于雙曲線y=$\frac{m}{x}$（m＞0）和雙曲線y=$\frac{n}{x}$（n＞0），如果m=2n，則稱雙曲線y=$\frac{m}{x}$（m＞0）和雙曲線y=$\frac{n}{x}$（n＞0）為“倍半雙曲線”，雙曲線y=$\frac{m}{x}$（m＞0）是雙曲線y=$\frac{n}{x}$（n＞0）的“倍雙曲線”，雙曲線y=$\frac{n}{x}$（n＞0）是雙曲線y=$\frac{m}{x}$（m＞0）的“半雙曲線”，

（1）請你寫出雙曲線y=$\frac{3}{x}$的“倍雙曲線”是y=$\frac{6}{x}$；雙曲線y=$\frac{8}{x}$的“半雙曲線”是y=$\frac{4}{x}$；
（2）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A是雙曲線y=$\frac{4}{x}$在第一象限內(nèi)任意一點(diǎn)，過點(diǎn)A與y軸平行的直線交雙曲線y=$\frac{4}{x}$的“半雙曲線”于點(diǎn)B，求△AOB的面積；
（3）如圖2，已知點(diǎn)M是雙曲線y=$\frac{2k}{x}$（k＞0）在第一象限內(nèi)任意一點(diǎn)，過點(diǎn)M與y軸平行的直線交雙曲線y=$\frac{2k}{x}$的“半雙曲線”于點(diǎn)N，過點(diǎn)M與x軸平行的直線交雙曲線y=$\frac{2k}{x}$的“半雙曲線”于點(diǎn)P，若△MNP的面積記為S_△MNP，且1≤S_△MNP≤2，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）直接利用“倍雙曲線”的定義即可；
（2）利用雙曲線的性質(zhì)即可；
（3）先利用雙曲線上的點(diǎn)設(shè)出M的橫坐標(biāo)，進(jìn)而表示出M，N的坐標(biāo)；
方法一、用三角形的面積公式建立不等式即可得出結(jié)論；
方法二、利用相似三角形的性質(zhì)得出△PMN的面積，進(jìn)而建立不等式即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）由“倍雙曲線”的定義
∴雙曲線y=$\frac{3}{x}$，的“倍雙曲線”是y=$\frac{6}{x}$；
雙曲線y=$\frac{8}{x}$ 的“半雙曲線”是y=$\frac{4}{x}$．
故答案為y=$\frac{6}{x}$，y=$\frac{4}{x}$；

（2）如圖1，

∵雙曲線y=$\frac{4}{x}$的“半雙曲線”是y=$\frac{2}{x}$，
∴△AOD的面積為2，△BOD的面積為1，
∴△AOB的面積為1．  

（3）解法一：如圖2，

依題意可知雙曲線$y=\frac{2k}{x}（k＞0）$的“半雙曲線”為$y=\frac{k}{x}（k＞0）$，
設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，則點(diǎn)M坐標(biāo)為（m，$\frac{2k}{m}$），點(diǎn)N坐標(biāo)為（m，$\frac{k}{m}$），
∴CM=$\frac{2k}{m}$，CN=$\frac{k}{m}$．
∴MN=$\frac{2k}{m}$-$\frac{k}{m}$=$\frac{k}{m}$．
同理PM=m-$\frac{m}{2}$=$\frac{m}{2}$．
∴S_△PMN=$\frac{1}{2}$MN•PM=$\frac{k}{4}$
∵1≤S_△PMN≤2，
∴1≤$\frac{k}{4}$≤2．
∴4≤k≤8，

解法二：如圖3，

依題意可知雙曲線$y=\frac{2k}{x}（k＞0）$的“半雙曲線”為$y=\frac{k}{x}（k＞0）$，
設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，則點(diǎn)M坐標(biāo)為（m，$\frac{2k}{m}$），點(diǎn)N坐標(biāo)為（m，$\frac{k}{m}$），
∴點(diǎn)N為MC的中點(diǎn)，同理點(diǎn)P為MD的中點(diǎn)．
連接OM，
∵$\frac{PM}{OC}=\frac{MN}{MC}=\frac{1}{2}$，
∴△PMN∽△OCM． 
∴$\frac{{S}_{△PMN}}{{S}_{△OCM}}=\frac{1}{4}$．
∵S_△OCM=k，
∴S_△PMN=$\frac{k}{4}$．
∵1≤S_△PMN≤2，
∴1≤$\frac{k}{4}$≤2．
∴4≤k≤8．

點(diǎn)評 此題是反比例函數(shù)綜合題，主要考查了新定義，雙曲線的性質(zhì)，三角形的面積公式，相似三角形的判定和性質(zhì)，解（1）的關(guān)鍵是理解新定義，解（2）的關(guān)鍵是三角形的面積公式的應(yīng)用，解（3）的關(guān)鍵是建立不等式求解．