Question

如圖，△ABC中，∠ABC=∠ACB=80°，D、E分別是AB、AC上的點，∠DCA=30°，∠EBA=20°，求∠BED的度數(shù)．

Answer 1

解：作∠BCF=60°，分別交AB、BE于點F、G，連接EF，DG，
∵∠ABC=80°，∠EBA=20°，
∴∠GBC=80°-20°=60°，
∴△BGC為等邊三角形，
∵∠DCA=30°，∠ACB=80°，
∴∠DCF=∠BCF-（∠ACB-∠DCA）=60°-（80°-30°）=10°，∠FCE=∠DCA-∠DCF=30°-10°=20°，
∴∠EBA=∠FCE，
又∵∠ABC=∠ACB=80°，
∴AB=AC，
在△ABE與△ACF中，，
∴△ABE≌△ACF（ASA），
∴BE=CF，
∵BG=CG=BC（等邊三角形的三邊相等）
∴FG=GE，
∴△FGE為等邊三角形，
∴∠EFG=∠CBG=60°，
∴EF∥BC，
∴∠AFE=∠ABC=80°，
∴∠DFG=180°-80°-60°=40°①，
在△BCD中，∠BDC=180°-∠ABC-∠BCD=180°-80°-（80°-30°）=50°，
∴∠BCD=180°-50°-80°=50°，
∴∠BDC=∠BCD，
∴BC=BD，
∴BD=BC=BG，
在△BGD中，∠BGD=（180°-20°）=80°，
∴∠DGF=180°-∠BGD-∠EGF=180°-80°-60°=40°②，
∴∠DFG=∠DGF，
∴DF=DG，
在△DFE與△DGE中，，
∴△DFE≌△DGE（SSS），
∴∠FED=∠BED，
∵∠GEF=60°（等邊三角形的每一個角都等于60°），
∴∠BED=∠GEF=30°．
故答案為：30°．
分析：作∠BCF=60°，分別交AB、BE于點F、G，構(gòu)造出等邊三角形△BCG，可以求出∠DCF與∠FCE的度數(shù)，并利用角邊角證明△ABE與△ACF全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等得到BE=CF，然后求出△FGE也是等邊三角形，再根據(jù)等邊三角形的角的度數(shù)證明EF∥BC，推出∠AFE=80°，根據(jù)平角等于180°推出∠DFG=40°，再根據(jù)角的度數(shù)可以得到BD=BC=BG，然后推出∠DGF=40°，根據(jù)等角對等邊的性質(zhì)可得DG=DF，從而利用邊邊邊證明△DFE與△DGE全等，根據(jù)全等三角形對應角相等可得∠DEF=∠BED，即可得解．
點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，巧妙運用題中的角的度數(shù)的關(guān)系并作出輔助線是解題的關(guān)鍵，難度較大，對同學們的能力要求較高．