Question

1．在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F、G分別是邊AD、AB、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)H是直線BC上一點(diǎn)，將線段FH繞點(diǎn)F逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段FK，連接EK．
（1）如圖1，求證：EF=FG，且EF⊥FG；
（2）如圖2，若點(diǎn)H在線段BC的延長(zhǎng)線上，求證：BH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$EF+EK；
（3）如圖3，若點(diǎn)H在線段BC的反向延長(zhǎng)線上，直接寫出線段BH、EF、EK之間滿足的數(shù)量關(guān)系為BH=EK-$\frac{\sqrt{2}}{2}$EF．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性質(zhì)得到△AEF≌BGF，再判定出∠EFG=90°即可；
（2）由正方形的性質(zhì)得到△EFK≌△GFH，再計(jì)算出BG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$FG，結(jié)合圖形即可；
（3）由正方形的性質(zhì)得到△EFK≌△GFH，再計(jì)算出BG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$FG，結(jié)合圖形即可；

解答 證明：（1）∵E，F(xiàn)，是正方形ABCD的邊AD，AB，BC的中點(diǎn)，
∴AE=AF=FB=BG，∠A=∠B=90°，
∴△AEF≌BGF，
∴EF=FG，∠AFE=∠BFG=45°，
∴∠EFG=180°-∠AFE-∠BFG=90°，
∴EF⊥FG；
（2）由題意有，F(xiàn)H=FK，∠HFK=90°，
∴∠KFE+∠EFH=90°，
∵∠EFG=90°，
∴∠HFG+∠EFH=90°，
∴∠KFE=∠HFG，
∴△EFK≌△GFH，
∴EK=GH，
∵△BFG是等腰直角三角形，
∴BG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$FG，
∴BH=BG+GH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$FG+EK=$\frac{\sqrt{2}}{2}$EF+EK．
即：BH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$EF+EK．
（3）由題意有，F(xiàn)H=FK，∠HFK=90°，
∴∠KFE+∠EFH=90°，
∵∠EFG=90°，
∴∠HFG+∠EFH=90°，
∴∠KFE=∠HFG，
∴△EFK≌△GFH，
∴EK=GH，
∵△BFG是等腰直角三角形，
∴BG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$FG，
∴BH=GH-BG=EK-$\frac{\sqrt{2}}{2}$FG=EK-$\frac{\sqrt{2}}{2}$EF．
即：∴BH=EK-$\frac{\sqrt{2}}{2}$EF．
故答案為BH=EK-$\frac{\sqrt{2}}{2}$EF．

點(diǎn)評(píng) 此題是四邊形的綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是判定三角形全等（如△EFK≌△GFH）．