Question

為防水患，在漓江上游修筑了防洪堤，其橫截面為一梯形（如圖所示），堤的上底寬AD和堤高DF都是6米，其中∠B=∠CDF．
（1）求證：△ABE∽△CDF；
（2）如果tanB=2，求堤的下底BC的長．

Answer 1

（1）證明：∠B=∠CDF，∠AEB=∠CFD
∴△ABE∽△CDF；

（2）解：在Rt△ABE中，tanB==2，AE=6
∴BE=AE=DF=3
在Rt△DFC中，∠CDF=∠B，DF=6∴tan∠CDF==2
∴FC=12
即BC=BE+EF+FC=3+6+12=21（m）．
分析：（1）要證兩三角形相似，要找齊兩組對應角相等，這兩個三角形中，已知了∠B=∠CDF，∠AEB和∠CFD是一組直角，因此就構成了判定相似三角形的條件．
（2）求BC的關鍵是求BE、CF的長，已知了∠B的正切值，由（1）的相似三角形可得出∠B=∠FDC，那么∠FDC的正切值也就得出了．可在直角三角形ABE和CDF中，用DF的長和∠B、∠CDF的正切函數求出BE、CF，也就能求出BC的長．
點評：本題主要考查了相似三角形的判定以及解直角三角形的應用．根據相似三角形得出的相等角來求BC的值是解（2）題的基礎．