Question

如圖所示，過點(diǎn)F（0，1）的直線y=kx+b與拋物線交于M（x₁，y₁）和N（x₂，y₂）兩點(diǎn)（其中x₁＜0，x₂＜0）。
（1）求b的值；
（2）求x₁·x₂的值；
（3）分別過M、N作直線l：y=-1的垂線，垂足分別是M₁、N₁，判斷△M₁FN₁的形狀，并證明你的結(jié)論；
（4）對(duì)于過點(diǎn)F的任意直線MN，是否存在一條定直線m，使m與以MN為直徑的圓相切，如果有，請(qǐng)求出這條直線m的解析式；如果沒有，請(qǐng)說明理由。

Answer 1

解：（1）b=1；
（2）顯然和是方程組的兩組解， 解方程組消元得， 依據(jù)“根與系數(shù)關(guān)系”得=-4；
（3）△M1FN1是直角三角形是直角三角形，理由如下： 由題知M1的橫坐標(biāo)為x1，N1的橫坐標(biāo)為x2，設(shè)M1N1交y軸于F1， 則F1M1·F1N1=-x1·x2=4， 而FF1=2，所以F1M1·F1N1=F1F2， 另有∠M1F1F=∠FF1N1=90°， 易證Rt△M1FF1∽R(shí)t△N1FF1，得∠M1FF1=∠FN1F1， 故∠M1FN1=∠M1FF1+∠F1FN1=∠FN1F1+∠F1FN1=90°， 所以△M1FN1是直角三角形；
（4）存在，該直線為y=-1， 理由如下： 直線y=-1即為直線M1N1，如圖， 設(shè)N點(diǎn)橫坐標(biāo)為m，則N點(diǎn)縱坐標(biāo)為，計(jì)算知NN1=， NF=， 得NN1=NF， 同理MM1=MF，那么MN=MM1+NN1， 作梯形MM1N1N的中位線PQ， 由中位線性質(zhì)知PQ=（MM1+NN1）=MN， 即圓心到直線y=-1的距離等于圓的半徑， 所以y=-1總與該圓相切。