Question

A、B、C、D四個城市恰好為一個正方形的四個頂點，要建立一個公路系統(tǒng)，使每兩個城市之間都有公路相通，并使整個公路系統(tǒng)的總長為最小，則這個公路系統(tǒng)應(yīng)當(dāng)如何修建？

Answer 1

解：作等邊△ABE和等邊△CDF，等邊△BPM．

由于將曲線段用直線段代替，長度不會增加，因此可以假定公路系統(tǒng)如第一個圖所示（必要時，P、Q兩點可以重合）．
如第二個圖所示，作等邊△ABE和△CDF，再作等邊△BPM．
易證△ABP≌△EBM，則AP=EM
從而AP+BP=EM+MP≥EP，當(dāng)且僅當(dāng)M在EP上時上式等號成立．
同理可證CQ+DQ≥QF
故AP+BP+PQ+CQ+DQ≥EP+PQ+QF≥EF，
當(dāng)且僅當(dāng)P、Q都在EF上時，上式等號成立．
易證當(dāng)∠ABP=∠BAP=30°時，M在EP上，
同理，當(dāng)∠DCQ=∠CDQ=30°時，CQ+DQ=QF．
故如第三個圖所示的情況時，AP+BP+PQ+CQ+DQ最�。�
分析：在正方形的內(nèi)部首先確定兩點，把這兩個點連接P，Q，然后把這兩個點分別與與A，B，C，D中的兩個點連接，即可構(gòu)成一個公路系統(tǒng)，然后利用兩點之間線段最短，即可重新確定P，Q的位置即可．
點評：本題考查了兩點之間線段最短，以及三角形全等的判定，首先假設(shè)P，Q的位置，然后根據(jù)兩點之間線段最短再確定P、Q的位置是基本的思路．