Question

在△ABC中，∠A=75°，∠B=35°，D是邊BC上一點(diǎn)，BD=2CD．求證：AD²=（AC+BD）（AC-CD）．

Answer 1

證明：延長BC至E，使AC=CE，連接AE，
∵∠BAC=70°，
∴∠CEA=∠CAE=∠ACB=35°=∠ABC，
∴△CAE∽△AEB，
∴AE²=AC•BE，
即AB²=AC（AC+BC）①，
設(shè)F是BD的中點(diǎn)，連接AF．
則CD=DF=FB．
在△ACF、△ADB中，由中線的性質(zhì)分別得
AC²+AF²=2CD²+2AD²，②
AD²+AB²=2DF²+2AF²．③
由式②、③得2AC²+AB²=6CD²+3AD²．④
將式①代入式④得3AC²+AC•BC=6CD²+3AD²．
將BC=3CD代入上式得AC²+AC•CD=2CD²+AD²．
故AD²=AC²+AC•CD-2CD²=（AC+2CD）（AC-CD）=（AC+BD）（AC-CD）．
分析：延長BC至E，使AC=CE，連接AE，即可證得△CAE∽△AEB，從而得到AE²=AC•BE，即AB²=AC（AC+BC），然后根據(jù)三角形的中線的性質(zhì)，即可對AC（AC+BC）變形，即可證得．
點(diǎn)評：本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，以及三角形中線的性質(zhì)，正確對所求證的式子進(jìn)行變形是解決本題的關(guān)鍵．