Question

12．在平面直角坐標系中，拋物線C₁：y=ax²-1
（1）若拋物線過點A（1，0），求拋物線C₁的解析式；
（2）將（1）中的拋物線C₁平移，使其頂點在直線l₁：y=x上，得到拋物線C₂，若直線l₁與拋物線C₂交于點C、D，求線段CD的長；
（3）將（1）中的拋物線C₁繞點A旋轉(zhuǎn)180°后得到拋物線C₃，直線y=kx-2k+4與拋物線C₃只有唯一交點，求符合條件的直線l的解析式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)頂點坐標，可得拋物線的解析式，根據(jù)解方程組，可得C、D點坐標，根據(jù)勾股定理，可得答案；
（3）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得C₃的頂點坐標，C₃的開口方向，分類討論：直線l平行y軸，直線l不平行y軸，根據(jù)代入消元法，可得關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)方程有一個解，可得判別式等于零，可得關(guān)于k的方程，根據(jù)解方程，可得答案．

解答 解：（1）將點A（1，0）代入函數(shù)解析式，a-1=0，解得a=1，
拋物線C₁的解析式y(tǒng)=x²-1；
（2）可設(shè)拋物線C₂的頂點為（m，n），
依題意拋物線C₂為y=（x-m）²+m
與直線y=x聯(lián)立解方程組得，
$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=（x-m）^{2}+m}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=m}\\{{y}_{1}=m}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=m+1}\\{{y}_{2}=m+1}\end{array}\right.$，
即C（m，m），D（m+1，m+1），
如圖：
，
過點C作CH∥x軸，過點D作DN∥y軸，CH交DN于點M，
∴CM=1，DM=1，
∴CD=$\sqrt{2}$；
（3）頂點（0，-1）關(guān)于A（1，0）的對稱點是（2，1），
拋物線C₃的解析式為y=-（x-2）²+1
∵直線y=kx-2k+4=k（x-2）+4，
∴直線l過定點M為（2，4），
①當直線l∥y軸時，則x=2與拋物線C₃總有唯一公共點（2，1）；
②當直線l不平行于y軸時，由一次函數(shù)y=kx-2k+4（k≠0），
l與y=-（x-2）²+1聯(lián)立，得
$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-2k+4}\\{y=-（x-2）^{2}+1}\end{array}\right.$，
消去y得x²-4x+3+kx-2k+4=0
即x²-（4-k）x+7-2k=0，
△=k²-12=0，
解得k₁=$2\sqrt{3}$，k₂=-$2\sqrt{3}$
∴$y=2\sqrt{3}x+4-4\sqrt{3}$或y=-2$\sqrt{3}$+4+4$\sqrt{4}$
綜上所述，過定點M，共有三條直線l：x=2或$y=2\sqrt{3}x+4-4\sqrt{3}$或y=-2$\sqrt{3}$+4+4$\sqrt{4}$，它們分別與拋物線C₃有唯一個公共點．

點評 本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，解方程組得出C、D的坐標，利用勾股定理是解題關(guān)鍵；利用圖形旋轉(zhuǎn)得出C₃的解析式是解題關(guān)鍵，又利用方程組有唯一解得出一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，利用了判別式等于零得出關(guān)于k的方程．