Question

（2012•邯鄲一模）如圖，矩形ABCD中，AC，BD是對角線，AB=3，BC=4，點E在CB的延長線上，且CE=AC，連接AE．
（1）求AE的長；
（2）用尺規(guī)作出AE的中點F，連接BF，DF；（保留作圖痕跡）
（3）求證：BF⊥DF；
（4）△ABE與△DFB是否相似？若相似，直接寫出△ABE與△DFB的面積比；若不相似，直接寫出△ABE與△DFB的面積．

Answer 1

分析：（1）由勾股定理求出AC=5，求出BE=5-4=1，在Rt△ABE中，根據(jù)勾股定理求出AE即可；
（2）分別以A、E為圓心，以大于

1

2

AE為半徑畫弧，交于一點，過該點和C作直線，交于AE的點就是F點；
（3）證△DAF≌△CBF，推出∠DFA=∠CFB，求出CF⊥AE，推出∠DFB=90°，根據(jù)垂直定義得出即可；
（4）求出BD=AC=5，BF=AF=EF=

1

2

AE=

10

2

，DF=

3 10

2

，得出

AE

BD

=

AB

DF

=

BE

BF

=

10

5

，即可得出答案．

解答：（1）解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ABE=∠ABC=90°，
∵AB=3，BC=4，
∴由勾股定理得：AC=5，
∵AC=CE，BC=4，
∴BE=5-4=1，
在Rt△ABE中，AE=

12+32

=

10

；

（2）解：如圖所示：

（3）證明：∵∠ABE=90°，F(xiàn)為AE中點，
∴BF=AF=EF，
∴∠FAB=∠FBA，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠DAB=∠CBA=90°，
∴∠DAF=∠CBF，
∵在△DAF和△CBF中

AF=BF ∠DAF=∠CBF AD=BC

∴△DAF≌△CBF（SAS），
∴∠DFA=∠CFB，
∵F為AE中點，AC=CE，
∴CF⊥AE，
∴∠CFA=90°=∠CFD+∠DFA，
∴∠CFD+∠CFB=90°，
∴∠DFB=90°，
∴BF⊥DF；

（4）解：△ABE與△DFB相似，
理由是：∵BD=AC=

32+42

=5，BF=AF=EF=

1

2

AE=

10

2

，
∴DF=

BD2-BF2

=

3 10

2

，
∵AB=3，BE=1，AE=

10

，
∴

AE

BD

=

AB

DF

=

BE

BF

=

10

5

，
即：△ABE與△DFB相似，△ABE與△DFB的面積比是（

10

5

）²=

2

5

．

點評：本題考查了相似三角形的性質和判定，矩形性質，勾股定理，全等三角形的性質和判定的應用，主要考查學生綜合運用性質進行推理和計算的能力．