Question

13．已知，AB∥CD，點(diǎn)E為射線(xiàn)FG上一點(diǎn)．
（1）如圖1，直接寫(xiě)出∠EAF、∠AED、∠EDG之間的數(shù)量關(guān)系；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在FG延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，求證：∠EAF=∠AED+∠EDG；
（3）如圖3，AI平分∠BAE，DI交AI于點(diǎn)I，交AE于點(diǎn)K，且∠EDI：∠CDI=2：1，∠AED=20°，∠I=30°，求
∠EKD的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）過(guò)E作EH∥AB，根據(jù)兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，即可得出∠AED=∠AEH+∠DEH=∠EAF+∠EDG；
（2）設(shè)CD與AE交于點(diǎn)H，根據(jù)∠EHG是△DEH的外角，即可得出∠EHG=∠AED+∠EDG，進(jìn)而得到∠EAF=∠AED+∠EDG；
（3）設(shè)∠EAI=∠BAI=α，則∠CHE=∠BAE=2α，進(jìn)而得出∠EDI=α+10°，∠CDI=$\frac{1}{2}$α+5°，再根據(jù)∠CHE是△DEH的外角，可得∠CHE=∠EDH+∠DEK，即2α=$\frac{1}{2}$α+5°+α+10°+20°，求得α=70°，即可根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，得到∠EKD的度數(shù)．

解答 解：（1）∠AED=∠EAF+∠EDG．
理由：如圖1，過(guò)E作EH∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EH，
∴∠EAF=∠AEH，∠EDG=∠DEH，
∴∠AED=∠AEH+∠DEH=∠EAF+∠EDG；

（2）證明：如圖2，設(shè)CD與AE交于點(diǎn)H，
∵AB∥CD，
∴∠EAF=∠EHG，
∵∠EHG是△DEH的外角，
∴∠EHG=∠AED+∠EDG，
∴∠EAF=∠AED+∠EDG；

（3）∵AI平分∠BAE，
∴可設(shè)∠EAI=∠BAI=α，則∠BAE=2α，
∵AB∥CD，
∴∠CHE=∠BAE=2α，
∵∠AED=20°，∠I=30°，∠DKE=∠AKI，
∴∠EDI=α+30°-20°=α+10°，
又∵∠EDI：∠CDI=2：1，
∴∠CDI=$\frac{1}{2}$∠EDK=$\frac{1}{2}$α+5°，
∵∠CHE是△DEH的外角，
∴∠CHE=∠EDH+∠DEK，
即2α=$\frac{1}{2}$α+5°+α+10°+20°，
解得α=70°，
∴∠EDK=70°+10°=80°，
∴△DEK中，∠EKD=180°-80°-20°=80°．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了平行線(xiàn)的性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理的綜合應(yīng)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是作輔助線(xiàn)構(gòu)造內(nèi)錯(cuò)角，運(yùn)用三角形外角性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算求解．解題時(shí)注意：三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．