Question

3．如圖，在等邊△ABC中，AD平分∠BAC交BC與點D，點E為AC邊的中點，BC=8；在AD上有一動點Q，則QC+QE的最小值為4$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 先根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出AB的長，連接BE，則線段BE的長即為QE+QC最小值．

解答 解：∵△ABC是等邊三角形，BC=8，
∴AC=8，
連接BE，
∵AD平分∠BAC，
∴AD是BC的中垂線，即QB=QC，
∴線段BE的長即為QE+QC最小值，
∵點E是邊AC的中點，
∴CE=$\frac{1}{2}$AC=4，BE⊥AC，
∴BE=$\sqrt{B{C}^{2}-C{E}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}-{4}^{2}}$=4$\sqrt{3}$，
∴QE+QC的最小值是4$\sqrt{3}$．
故答案為：4$\sqrt{3}$．

點評 本題考查的是軸對稱-最短路線問題，熟知等邊三角形的性質(zhì)是解答此題的關鍵．等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對稱軸；它的任意一角的平分線都垂直平分對邊，三邊的垂直平分線是對稱軸．