Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，點E為底AD上的一點，將△CDE沿CE折疊，點D落在梯形對角線AC上的點F處，EF的延長線交BC于點G，連接DF．
（1）求證：△CDF∽△GCE；
（2）設AD=a，CD=b，BC=c，當四邊形ABGE為平行四邊形時，求a，b，c應滿足的關系．

Answer 1

分析：（1）通過證明∠EGC=∠FCD，∠CEG=∠DFC，可證明△CDF∽△GCE；
（2）證△ADC∽△CAB，可得出AC²=AD×BC，在Rt△ACD中表示出AC²，即可得出a，b，c應滿足的關系．

解答：證明：（1）∵AD∥BC，
∴∠EGC=∠AEG，
∵∠AEG+∠DEF=180°，∠FCD+∠DEF=180°，
∴∠EGC=∠AEG=∠FCD，
由折疊的性質可得DF⊥CE，
∴∠CEG+∠EFD=90°，
又∵∠CFD+∠EFD=90°，
∴∠CEG=∠DFC，
在△CDF和△GCE中，
∵

∠FCD=∠EGC ∠DFC=∠CEG

，
∴△CDF∽△GCE．

（2）a²+b²=ac．
證明：∵△CDF∽△GCE
∴∠DCF=∠CGE，
∵四邊形ABGE為平行四邊形，
∴AB∥EG，
∴∠CGE=∠ABC=∠DCA，
在ADC和△CAB中，
∵

∠DCA=∠ABC ∠DAC=∠ACB

，
∴△ADC∽△CAB，
∴

AC

AD

=

BC

AC

，即AC²=AD×BC=ac，
在Rt△ACD中，AC²=AD²+DC²=a²+b²，
故a，b，c應滿足的關系為：a²+b²=ac．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質、折疊的性質及平行線的性質，解答本題的關鍵是相似三角形的尋找，注意掌握相似三角形的判定定理，最常用的就是兩角法．