Question

已知二次函數(shù)y=x²＋bx＋c與x軸交于A（－1，0）、B（1，0）兩點.

（1）求這個二次函數(shù)的關系式；

（2）若有一半徑為r的⊙P，且圓心P在拋物線上運動，當⊙P與兩坐標軸都相切時，求半徑r的值.

（3）半徑為1的⊙P在拋物線上，當點P的縱坐標在什么范圍內取值時，⊙P與y軸相離、相交？

 

Answer 1

【答案】

解：（1）由題意，得  解得              

            ∴二次函數(shù)的關系式是y=x²－1．                

       （2）設點P坐標為（x，y），則當⊙P與兩坐標軸都相切時，有y=±x．

             由y=x，得x²－1=x，即x²－x－1=0，解得x=．

             由y=－x，得x²－1=－x，即x²＋x－1=0，解得x=．

            ∴⊙P的半徑為r=|x|=．                

       （3）設點P坐標為（x，y），∵⊙P的半徑為1，

∴當y＝0時，x²－1=0，即x＝±1，即⊙P與y軸相切，

            又當x＝0時，y＝－1，

∴當y＞0時，  ⊙P與y相離；

              當－1≤y＜0時，  ⊙P與y相交.   

【解析】（1）由A（－1，0）、B（1，0）根據(jù)待定系數(shù)法可求出二次函數(shù)的關系式；

（2）由⊙P與兩坐標軸都相切可得到點P橫坐標與縱坐標的關系，再待入二次函數(shù)關系式即可求得點P的

坐標，從而得到半徑r的值.

（3）根據(jù)直線與圓的位置關系特征即可得到⊙P與y軸相離、相交時點P的縱坐標的范圍。