Question

5．如圖①，∠AOB=90°，∠AOC為∠AOB外的一個(gè)角，且∠AOC=30°，射線OM平分∠BOC，ON平分∠AOC．
（1）求∠MON的度數(shù)；
（2）如果（1）中∠AOB=α，∠AOC=β．（α，β為銳角），其它條件不變，求出∠MON的度數(shù)；
（3）其實(shí)線段的計(jì)算與角的計(jì)算存在著緊密的聯(lián)系，如圖②線段AB=m，延長(zhǎng)線段AB到C，使得BC=n，點(diǎn)M，N分別為AC，BC的中點(diǎn)，求MN的長(zhǎng)（直接寫出結(jié)果）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)角的平行線的特點(diǎn)，可以得知所分兩角相等，等于原角的一半，根據(jù)角與角之間的數(shù)量關(guān)系即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)角的平行線的特點(diǎn)，可以得知所分兩角相等，等于原角的一半，根據(jù)角與角之間的數(shù)量關(guān)系即可得出結(jié)論；
（3）根據(jù)（2）的原理，可直接得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵∠BOC=∠AOB+∠AOC=90°+30°=120°，
射線OM平分∠BOC，
∴∠COM=$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}$×120°=60°，
∵ON平分∠AOC，
∴∠CON=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$×30°=15°，
∴∠MON=∠COM-∠CON=60°-15°=45°．
（2）∵∠BOC=∠AOB+∠AOC=α+β，
∵射線OM平分∠BOC，
∴∠COM=$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}$（α+β），
∵ON平分∠AOC，
∴∠CON=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$β，
∴∠MON=∠COM-∠CON=$\frac{1}{2}$（α+β）-$\frac{1}{2}$β=$\frac{1}{2}$α．
（3）MN=$\frac{1}{2}$m．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是角的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是明白角平分線的特點(diǎn)，根據(jù)此特點(diǎn)結(jié)合角與角間的數(shù)量關(guān)系即可得出結(jié)論．