Question

10．點F在線段AB上，點E在線段CD上，點P是平面內一點
（1）如圖1，若∠FPE-∠BFP=∠DEP，求證：AB∥CD；
（2）在（1）條件下，∠BFP和∠DEP的平分線相交于點H，過點E作EQ⊥EH交∠AFP的角平分線于點Q，連接PQ，且PQ∥FH，若∠FHE=35°，∠QEC=80°，求∠QPE的度數．

Answer 1

分析 （1）過P作PM∥AB，根據平行線的性質得到∠BFP=∠FPM，等量代換得到∠MPE=∠PED，根據平行線的判定定理即可得到結論；
（2）由（1）可得∠H=∠BFH+∠DEH=35°，∠FQE=∠AFQ+∠CEQ，根據角平分線的定義得到∠PEH=∠DEH根據余角的性質得到∠CEQ=∠PEQ，然后根據角的和差即可得到結論．

解答 解：（1）過P作PM∥AB，
∴∠BFP=∠FPM，
∴∠MPE=∠FPE-∠BFP，
∵∠FPE-∠BFP=∠DEP，
∴∠MPE=∠PED，
∴CD∥PM，
∴AB∥CD；

（2）由（1）可得：∠H=∠BFH+∠DEH=35°，∠FQE=∠AFQ+∠CEQ，
∵∠QEC=80°，
∵HE平分∠PED，
∴∠PEH=∠DEH，∵QE⊥EH，
∴∠CEQ+∠HED=∠QEP+∠PEH=90°，
∴∠CEQ=∠PEQ，
∵∠QEC=80°，
∴∠HED=10°，
∴∠BFH=25°，
∴∠BFP=50°，∠PED=20°，
∴∠AFQ=65°，
∴∠FQE=145°，
∴∠PQE=55°，
∵∠QEP=80°，
∴∠QPE=45°．

點評 本題考查了平行線的判定和性質，余角的性質，角平分線的定義，熟練掌握平行線的判定和性質是解題的關鍵．