Question

15．已知：Rt△ABC中，BC=AC，AB=8$\sqrt{2}$，射線CD平分∠ACB，交AB于點(diǎn)D，Rt△EFG中，∠GEF=90°，EF=EG，F(xiàn)G=2$\sqrt{2}$，將△ABC與△EFG如圖（1）擺放，使點(diǎn)C與點(diǎn)E重合，B、C、E、F共線，現(xiàn)將△EFG沿著射線CD以每秒$\sqrt{2}$個單位的速度向上平移，設(shè)平移時間為t秒．
（1）求BC，CD的長度；
（2）在平移過程中，當(dāng)△EFG與△ACD有重疊部分時，設(shè)重疊部分的面積為S，請直接寫出S與t的關(guān)系式及對應(yīng)的自變量t的取值范圍；
（3）如圖（2），當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)D重合時，將△EFG繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)中的△EFG為△EF₁G₁，在旋轉(zhuǎn)過程中G₁F₁所在直線與邊AB交于點(diǎn)M，與邊AC交于點(diǎn)N，當(dāng)△AMN為以MN為腰的等腰三角形時，求AM的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得：∠A=∠B=45°，利用45°的正弦求出直角邊BC的長，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)知道：AD是中線，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出CD的長；
（2）先計算特殊位置時對應(yīng)的t值，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)G重合時，如圖2，t=$\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$=2；當(dāng)點(diǎn)F平移到AB上時，如圖8，t=$\frac{CD+DE}{\sqrt{2}}$=$\frac{4\sqrt{2}+\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$=5，分四種情況討論：①當(dāng)0＜t＜2時，如圖3，重合部分的面積S為四邊形PDEG的面積，②當(dāng)2≤t≤3時，重合部分的面積S為△GEF的面積，③當(dāng)3＜t≤4，如圖5，重合部分的面積S為四邊形PFEQ的面積，④當(dāng)4＜t≤5時，如圖7，重合部分的面積S為三角形PFQ的面積，分別計算即可；
（3）分別旋轉(zhuǎn)45°和360°時，△AMN是以MN為腰的等腰三角形，分別求出AM的長即可．

解答 解：（1）在Rt△ABC中，
∵BC=AC，
∴∠A=∠B=45°，
∴sin45°=$\frac{BC}{AB}$，
∴BC=AB•sin45°=8$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=8，
∵CD平分∠ACB，
∴點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，
∴CD=$\frac{1}{2}$AB=4$\sqrt{2}$；
（2）當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)G重合時，即重合部分的面積為△GEF的面積，如圖2，
∵△ACB和△GEF都是等腰直角三角形，
∴∠FGC=∠ACD=45°，
∴FG∥CD，
Rt△EFG中，
∵∠GEF=90°，EF=EG，F(xiàn)G=2$\sqrt{2}$，
∴EG=FE=2，
由平移得：EF∥BC，
△CEF是等腰直角三角形，
∴CE=2$\sqrt{2}$，
所以這時的時間t=$\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$=2，
①當(dāng)0＜t＜2時，如圖3，重合部分的面積S為四邊形PDEG的面積，
∵PG∥CE，PC∥EG，
∴四邊形PCEG是平行四邊形，
又∵EF⊥AC，
由題意得：EC=$\sqrt{2}$t，則ED=CD=t，
∴S=S_?PCEG-S_△CDE=EG•ED-$\frac{1}{2}$ED•CD=2t-$\frac{1}{2}$t²=-$\frac{1}{2}{t}^{2}$+2t，
當(dāng)點(diǎn)G在AB上時，如圖4，
∵EG∥AC，
∴∠EGD=∠A=45°，
∵∠ADC=90°，
∴△GDE是等腰直角三角形，
∵EG=2，
∴DE=$\sqrt{2}$，
∴CE=CD-DE=4$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$=3$\sqrt{2}$，
∴t=$\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$=3，
②當(dāng)2≤t≤3時，重合部分的面積S為△GEF的面積，
∴S=S_△EGF=$\frac{1}{2}$GE•EF=$\frac{1}{2}$×2×2=2，
③當(dāng)3＜t≤4，如圖5，重合部分的面積S為四邊形PFEQ的面積，
∵CE=$\sqrt{2}$t，
∴DE=4$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$t，
∵△QDE是等腰直角三角形，
∴EQ=$\sqrt{2}$DE=$\sqrt{2}$（4$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$t）=8-2t，
∴GQ=2-EQ=2-8+2t=2t-6，
同理△PQG是等腰直角三角形，
∴PG=PQ=$\frac{2t-6}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$（t-3），
∴S=S_{四邊形PFEQ}=S_△GEF-S_△PQG=2-$\frac{1}{2}$[$\sqrt{2}$（t-3）]²=2-（t-3）²=-t²+6t-7；
④當(dāng)4＜t≤5時，如圖7，重合部分的面積S為三角形PFQ的面積，
當(dāng)點(diǎn)F平移到AB上時，如圖8，
∵△EFD是等腰直角三角形，EF=2，
∴ED=$\sqrt{2}$，
∴t=$\frac{CD+DE}{\sqrt{2}}$=$\frac{4\sqrt{2}+\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$=5，
如圖7，∵CE=$\sqrt{2}$t，
∴DE=$\sqrt{2}t-4\sqrt{2}$，
∴EQ=$\sqrt{2}$（$\sqrt{2}t-4\sqrt{2}$）=2t-8，
∴FQ=2-EQ=2-2t+8=10-2t，
∵△PFQ是等腰直角三角形，
∴PQ=PF=$\frac{FQ}{\sqrt{2}}$=$\frac{10-2t}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$（5-t），
∴S=S_△PFQ=$\frac{1}{2}$PF•PQ=$\frac{1}{2}$[$\sqrt{2}$（5-t）]²=t²-10t+25；
綜上所述，S與t的關(guān)系式為：$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}{t}^{2}+2t（0＜t＜2）}\\{2（2≤t≤3）}\\{-{t}^{2}+6t-7（3＜t≤4）}\\{{t}^{2}-10t+25（4＜t≤5）}\end{array}\right.$；
（3）分兩種情況：
①當(dāng)AN=MN時，如圖9，點(diǎn)M和F₁重合，
∴∠AMN=∠A=45°，
∴∠ANM=90°，
∵M(jìn)E=2，AE=4$\sqrt{2}$
∴AM=4$\sqrt{2}$-2，
②當(dāng)AM=MN時，如圖10，
∴∠ANM=∠A=45°，
∴∠AMN=90°，
∴DM=$\frac{1}{2}$FG=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$，
∴AM=AD-DM=4$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$=3$\sqrt{2}$，
綜上所述，當(dāng)△AMN為以MN為腰的等腰三角形時，AM的長為4$\sqrt{2}$-2或3$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題是動點(diǎn)運(yùn)動和幾何旋轉(zhuǎn)的綜合題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)和判定，關(guān)于動點(diǎn)運(yùn)動要弄清幾個問題：①幾個動點(diǎn)，②運(yùn)動的路線，③運(yùn)動的時間和終止時間，④動點(diǎn)的速度，⑤會根據(jù)時間和速度表示運(yùn)動的路程；在計算重合部分面積時，要先計算特殊位置時的t的值，再根據(jù)這些值將重合的圖形分類討論．