Question

如圖，已知四邊形ABCD中，DC∥AB，AD=BC，DC=12，AB=20，tanA=

3

4

，作DH⊥AB，垂足為H，點E是線段HB上一動點，以E為圓心，EA為半徑作⊙E，⊙E與線段DC相交于點F，設(shè)AE=x，DF=y，
（1）當EF∥AD時，求AE的長；
（2）求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）將△ADF沿AF所在的直線翻折，點D落在平面上的D′處，當D′E=1時，試求AE的長．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：幾何圖形問題

分析：（1）首先判定四邊形AEFD是菱形，進而求出AH的長，再利用銳角三角函數(shù)關(guān)系求出DH的長；
（2）首先得出點D、F在直線EM的兩側(cè)，再利用勾股定理得出MF的長，再利用DF=DM+MF求出即可；
（3）利用菱形性質(zhì)得出D′必落在射線FE上，再利用當D′E=1時，有x-y=1或y-x=1，求出AE即可．

解答：解：（1）當EF∥AD時，∵DF∥AE，
∴四邊形AEFD是平行四邊形，
又∵EA=EF，
∴四邊形AEFD是菱形，
∴EA=AD，
∵在四邊形ABCD中，DC∥AB，AD=BC，DC=12，AB=20，AH⊥AB，
∴AH=4，
在Rt△ADH中，tanA=

3

4

=

DH

AH

，
∴DH=3，
∴AE=AD=5；

（2）∵連接EF，作EM⊥DC，
∵E在線段HB上，且ME與線段DC僅有一個公共點，
∴點D、F在直線EM的兩側(cè)，
在Rt△EMF中，∵MF=

EF2-EM2

=

x2-9

，
DM=HE=x-4，
∴DF=DM+MF，
∴y=x-4+

x2-9

，
定義域：4≤x≤

265

32

；

（3）連接AF，
∵四邊形AEFD是菱形
∴∠DFA=∠EFA
則D′必落在射線FE上，
當D′E=1時，有x-y=1或y-x=1，
當x-y=1時，
∴x-（x-4+

x2-9

）=1，
∴4-

x2-9

=1，
整理得：x²-9=9，
解得：x=AE=3

2

，
當y-x=1時，
∴x-4+

x2-9

-x=1，
∴-4+

x2-9

=1，
整理得：x²-9=25，
解得：x=AE=

34

，
綜上所述：AE的長為：3

2

或

34

．

點評：此題主要考查了圓的綜合應(yīng)用以及勾股定理和菱形的性質(zhì)和判定等知識，利用分類討論得出AE的長是解題關(guān)鍵．