Question

在平面直角坐標(biāo)系中，現(xiàn)將一塊等腰直角三角板ABC放在第一象限，斜靠在兩坐標(biāo)軸上，且點A（0，2），點C（1，0），如圖所示；拋物線經(jīng)過點B。

（1）求點B的坐標(biāo)；
（2）求拋物線的解析式；
（3）在拋物線上是否還存在點P（點B除外），使△ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形？若存在，求所有點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（1）過B點作BD⊥x軸，垂足為D， ∵∠BCD+∠ACO=90°，∠ACO+∠OAC=90°， ∴∠BCD=∠CAO， 又∵∠DBC=∠COA=90°，CB=AC， ∴△DBC≌△CAO（AAS） ∴BD=OC=1，CD=OA=2， ∴點B的坐標(biāo)為（3，1）； （2）∵拋物線經(jīng)過點B（3，1）， ∴1=9a-3a-2，解得a=， ∴拋物線的解析式為； （3）假設(shè)存在點P，使得△ACB是直角三角形： ①若以AC為直角邊，點C為直角頂點，則延長BC至P1，使得P1C=BC，得到等腰三角形ACP1， 過P1作P1M⊥x軸，如圖1 ∵CP1=BC，∠MCP1=∠BCD，∠P1MC=∠BDC=90°， ∴△MP1C≌△DBC（AAS）， ∴CM=CD=2，P1M=BD=1 可求得點P1（-1，-1）， 經(jīng)檢驗P1（-1，-1）在拋物線上； ②若以AC為直角邊，點A為直角頂點，且點P在y軸左側(cè)，則過點A作AP2⊥CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形ACP2，過P2作P2N⊥y軸，如圖2， 同理可證△AP2N≌△CAO， ∴P2N=OA=2，AN=OC=1， 可求得點P2（-2，1），經(jīng)檢驗P2（-2，1）也在拋物線上； ③若以AC為直角邊，點A為直角頂點，且點P在y軸右側(cè)，則過點A作AP3⊥CA，且使得AP3=AC，得到等腰直角三角形ACP3，過P3作P3H⊥軸，如圖3， 同理可證△AP3H≌△CAO， ∴HP3=OA=2，AH=OC=1， 可求得點P3（2，3），經(jīng)檢驗P3（2，3）不在拋物線上。 綜上所述，符合條件的點有P1（-1，-1），P2（-2，1）兩點。