Question

如圖，已知矩形ABCD中，A （3，2），B （3，-4），C （5，-4），點E是直線AB與x軸的交點，拋物線y=ax²+b x-3過點E，且頂點F的橫坐標為1，點M是直線CD與x軸的交點．
（1）求a，b的值；
（2）請你探索在矩形ABCD的四條邊上，是否存在點P，使得三角形AFP是等腰三角形？如果存在，求出點P的坐標；如果不存在，請說明理由；
（3）拋物線上是否存在點Q在∠EMC的平分線上？如果存在，求出點Q的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）A （3，2），B （3，-4），點E是直線AB與x軸的交點，
∴E點坐標為（3，0）．
∵拋物線y=ax²+bx-3過點E，且頂點F的橫坐標為1，
∴，解得，
所以a=1，b=-2；

（2）在矩形ABCD的四條邊上，存在點P，使得三角形AFP是等腰三角形．理由如下：
①當PA=PF時，點P在線段AF的垂直平分線上．
（i）設P₁是線段AF的垂直平分線與AB的交點，設BP₁=x，
∵P₁A²=P₁F²，
∴（6-x）²=x²+2²，解得x=，
∴點P的坐標為（3，-）；
（ii）設P₂是線段AF的垂直平分線與CD的交點，設CP₂=y，
∵P₂A²=P₂F²，
∴（6-y）²+2²=y²+4²，解得y=2，
∴點P的坐標為（5，-2）；
②當AF=AP時，點P與點C重合，
此時點P的坐標為（5，-4）；
③當FA=FP時，設CP=m，
∵FA²=FP²，
∴6²+2²=m²+4²，解得m=2，
∴點P的坐標為（5，2-4）；
綜上可知，點P的坐標為（3，-）或（5，-2）或（5，-4）或（5，2-4）；

（3）拋物線上存在點Q在∠EMC的平分線上，理由如下：
由（1）得y=x²-2x-3，設Q點的坐標為（x，x²-2x-3），則x＜5．
點Q在∠EMC的平分線上即點Q到x軸和到直線CD的距離相等，
所以-（x²-2x-3）=5-x，
整理得，x²-3x+2=0，
解得x=1或2，
所以點Q的坐標為（1，-4）或（2，-3）．
分析：（1）先求出E點坐標，再由拋物線y=ax²+bx-3過點E，且頂點F的橫坐標為1，列出關于a，b的方程組，解方程組即可求出a，b的值；
（2）當三角形AFP是等腰三角形時，分三種情況進行討論：
①PA=PF，又分兩種情況，（i）P在AB邊上；（ii）P在CD邊上．根據兩點間的距離公式列出方程，解方程即可；
②AF=AP，則點P與點C重合；
③FA=FP，根據兩點間的距離公式列出方程，解方程即可；
（3）設Q點的坐標為（x，x²-2x-3），則x＜5，由點Q在∠EMC的平分線上即點Q到x軸和到直線CD的距離相等，列出方程-（x²-2x-3）=5-x，解方程求出x的值，即可得到點Q的坐標．
點評：本題是二次函數的綜合題型，其中涉及到的知識點有運用待定系數法求拋物線的解析式，等腰三角形的性質，兩點間的距離公式，角平分線的判定，綜合性較強，難度適中．運用數形結合、分類討論及方程思想是解題的關鍵．