Question

19．將長為1，寬為a的長方形紙片$（{\frac{1}{2}＜a＜1}）$如圖那樣折一下，剪下一個邊長等于長方形的寬度的正方形（稱為第一次操作）；再把剩下的長方形如圖那樣折一下，剪下一個邊長等于此時長方形寬度的正方形（稱為第二次操作）；如些反復操作下去，若在第n次操作后剩下的長方形為正方形，則操作終止．
（1）第一次操作后，剩下的長方形兩邊長分別為a和1-a；（用含a的代數(shù)式表示）
（2）若第二次操作后，剩下的長方形恰好是正方形，則求a的值，寫出解答過程
（3）若第三次操作后，剩下的長方形恰好是正方形，畫出圖形，試求a的值．

Answer 1

分析 （1）經過第一次操作可知剩下的長方形一邊長為a，另一邊長為1-a；
（2）若第二次操作后，剩下的長方形恰好是正方形，則第一次操作后剩下的長方形的長為寬的2倍，由此可得出關于a的一元一次方程，解之即可得出結論；
（3）若第三次操作后，剩下的長方形恰好是正方形，則第二次操作后剩下的長方形的長為寬的2倍，由此可得出關于a的一元一次方程，解之即可得出結論．

解答 解：（1）第一次操作后，剩下的長方形兩邊長分別為a，（1-a），
故答案為：a和1-a．
（2）若第二次操作后，剩下的長方形恰好是正方形，
則a=2（1-a）或2a=1-a，
解得：a=$\frac{2}{3}$或a=$\frac{1}{3}$（舍去）．
（3）若第三次操作后，剩下的長方形恰好是正方形，如圖所示，
則1-a=2（2a-1）或2（1-a）=2a-1，
解得：a=$\frac{3}{5}$或a=$\frac{3}{4}$．

點評 本題考查了一元一次方程的應用，解題的關鍵是根據剪紙的操作找出：若第n次操作后剩下的長方形為正方形，則前一次操作后剩下的長方形的長為寬的2倍．