Question

已知a，b是整數，x²-ax+3-b=0有兩個不相等的實數根，x²+（6-a）x+7-b=0有兩個相等的實數根，x²+（4-a）x+5-b=0沒有實數根，求a，b的值．

Answer 1

分析：由x²-ax+3-b=O有兩個不相等的實數根，則△₁=a²-4（3-b）=a²+4b-12＞0，即a²+4b＞12①；由x²+（6-a）x+7-b=O有兩個相等的實數根，則△₂=（6-a）²-4（7-b）=a²+4b-12a+8=0，即a²+4b=12a-8②；由x²+（4-a）x+5-b=0沒有實數根，則△₃=（4-a）²-4（5-b）=a²+4b-8a-4＜0，即a²+4b＜8a+4③；由②變形得a²+4b=12a+8，然后把a²+4b=12a+8分別代入①③可得到a的取值范圍，加上a為整數，就可求出a，再代入②可得到b．

解答：解：根據題意得，△₁=a²-4（3-b）=a²+4b-12＞0，即a²+4b＞12①；
△₂=（6-a）²-4（7-b）=a²+4b-12a+8=0，即a²+4b=12a-8②；
△₃=（4-a）²-4（5-b）=a²+4b-8a-4＜0，即a²+4b＜8a+4③；
把②分別代入①③得，12a-8＞12且12a-8＜8a+4，解不等式組得；

5

3

＜x＜3，而a為整數，
所以a=2，再代入②得，4+4b=12×2-8，解得b=3，
∴a=2，b=3．

點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數）的根的判別式△=b²-4ac．當△＞0，方程有兩個不相等的實數根；當△=0，方程有兩個相等的實數根；當△＜0，方程沒有實數根．也考查了代數式的變形能力和不等式的解法．