Question

8．如圖，直角梯形OABC的直角頂點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，PA，OC分別在x軸、y軸正半軸上，OA∥BC，D是BC上一點(diǎn)，BD=$\frac{1}{4}OA$=$\sqrt{2}$，AB=3，∠OAB=45°，E、F分別是線段OA、AB上的兩動(dòng)點(diǎn)，且始終保持∠DEF=45°．
（1）直接寫出D點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）設(shè)OE=x，AF=y，試確定y與x之間的函數(shù)關(guān)系；
（3）當(dāng)△AEF時(shí)等腰三角形時(shí)，求出△AEF的面積．

Answer 1

分析 （1）過(guò)點(diǎn)B作BF⊥OA于F，由∠OAB=45°，AB=3，即可求得BF與AF的值，又由BD=$\frac{1}{4}OA$=$\sqrt{2}$，即可求得CD的長(zhǎng)，則可求得D點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）首先連接OD，由結(jié)論（1）知：D在∠COA的平分線上，可得∠DOE=∠COD=45°，又由∠1=∠2，可判定△ODE∽△AEF，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可得到y(tǒng)與x之間的函數(shù)關(guān)系；
（3）當(dāng)△AEF為等腰三角形時(shí)，存在EF=AE或AF=AE或EF=AF共3種情況，分別從這三種情況去分析，利用相似三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)以及矩形的性質(zhì)求解，即可求得答案．

解答 解：（1）如圖（1），過(guò)點(diǎn)B作BM⊥OA于M，
∵∠OAB=45°，
∴AM=BM=AB•sin∠OAB=3×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∵BD=$\frac{1}{4}$OA=$\sqrt{2}$，
∴OA=4$\sqrt{2}$，
∴CD=BC-BD=OM-BD=4$\sqrt{2}$-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$-$\sqrt{2}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴D點(diǎn)的坐標(biāo)是（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，$\frac{3\sqrt{2}}{2}$）；

（2）連接OD，如圖（2），由結(jié)論（1）知：D在∠COA的平分線上，
則∠DOE=∠COD=45°，
又∵在梯形DOAB中，∠BAO=45°，
∴OD=AB=3，
由三角形外角定理得：∠1=∠DEA-∠DOE=∠DEA-45°，
又∵∠2=∠DEA-45°，
∴∠1=∠2，
∴△ODE∽△AEF，
∴$\frac{OE}{AF}$=$\frac{OD}{AE}$，
即：$\frac{x}{y}$=$\frac{3}{4\sqrt{2}-x}$，
∴y與x的解析式為：y=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{4\sqrt{2}}{3}$x；

（3）當(dāng)△AEF為等腰三角形時(shí)，存在EF=AE或AF=AE或EF=AF共3種情況．
①當(dāng)EF=AE時(shí)，如圖（3），
∴∠EFA=∠DEF=45°，
∴DE∥AB，
又∵DB∥EA，
∴四邊形DEAB是平行四邊形，
∴AE=DB=$\sqrt{2}$，
∴S_△AEF=$\frac{1}{2}$AE²=1；
②當(dāng)AF=AE時(shí)，如圖（4），連接OD，
由（2）知△ODE∽△AEF，
則$\frac{OE}{AF}$=$\frac{OD}{AE}$，即$\frac{3}{4\sqrt{2}-x}$=$\frac{x}{y}$，
則3y=4$\sqrt{2}$x-x²，①，
又OE+AE=4$\sqrt{2}$，即x+y=4$\sqrt{2}$②，
聯(lián)立①②解得：y=4$\sqrt{2}$-3，
∴AE=AF=4$\sqrt{2}$-3，
過(guò)B作BH⊥OA于H，過(guò)F作FG⊥OA于G，
∴$\frac{AF}{AB}=\frac{FG}{BH}$，
∴FG=$\frac{8-3\sqrt{2}}{2}$，
∴S_△AEF=$\frac{1}{2}$AE•FG=$\frac{1}{2}×（4\sqrt{2}-3）×\frac{12-3\sqrt{2}}{2}$$\frac{1}{2}$×（4$\sqrt{2}$-3）×$\frac{8-3\sqrt{2}}{2}$=$\frac{41\sqrt{2}-48}{4}$；
③當(dāng)EF=AF時(shí)，如圖（5）．∠FAE=∠FEA=∠DEF=45°，
∴△AEF為等腰直角三角形．
∴∠AEF=45°，
∵∠DEF=45°，
∴∠DEA=90°，
∴四邊形COED是矩形，
∴OE=CD=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴AE=4$\sqrt{2}$-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，
∴S_△AEF=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$AE²=$\frac{25}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、直角梯形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)以及三角函數(shù)等知識(shí)．此題綜合性較強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想、方程思想與分類討論思想的應(yīng)用，注意準(zhǔn)確作出輔助線．