Question

如圖，△ABC中，AB=AC，∠A=∠ACB．
（1）求證：△ABC是等邊三角形；
（2）若D為AB的中點，P為CD上的點，Q為PC的中點，且PE⊥AC于點E，QF⊥BC于點F，試求的立方根．

Answer 1

（1）證明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠A=∠ACB，
∴∠A=∠ACB=∠ABC，
∴△ABC是等邊三角形；

（2）解：∵D為AB的中點，
∴∠ACD=∠BCD=×60°=30°，
∵PE⊥AC，QF⊥BC，
∴PE=PC，QF=CQ，
∵Q為PC的中點，
∴CQ=PC，
∴PE=2QF，
∴==8，
∴的立方根是2．
分析：（1）根據(jù)等邊對等角的性質(zhì)可得∠ABC=∠ACB，再根據(jù)三個角相等的三角形是等邊三角形證明即可；
（2）先求出∠ACD=∠BCD=30°，再利用30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出PE、QF，然后根據(jù)點Q是PC的中點求出可得PC=2CQ，求出的值，再利用立方根的定義解答即可．
點評：本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，立方根的定義，比較簡單，熟記性質(zhì)與定義是解題的關鍵．