Question

如圖，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=90°，CD=AB，4BC²=5AD²，
（1）求證：AD=AB．
（2）AC、BD交于點(diǎn)E，AO⊥BD交BD于O，交BC于F，求證：CE=CF．
（3）作點(diǎn)F交于點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)H，試判斷BH與AE的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

解：（1）過(guò)點(diǎn)C作CM⊥AB于M，
∵AB∥CD，∠DAB=90°，∴四邊形AMCD是矩形，
∴AM=CD，
∵CD=AB，
∴AM=BM，
∴AC=BC，
∵在Rt△ACD中，∠ADC=90°，
∴AD²+CD²=AC²=BC²，
∵4BC²=5AD²，
∴CD²=AD²，
即CD=AD，
∴AD=AB，

（2）由（1）知：∠ADB=∠ABD=45°，
又∵AC=BC，
∴∠CAB=∠CBA，
∴∠CAF=∠CBE，
∴在△ACF和△BCE中，
，
∴△ACF≌△BCE（ASA），
∴CE=CF；

（3）延長(zhǎng)BH交AE于N，
由（2）可得：AE=BF，
∵F，H關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱，
∴BH=BF，∠OBF=∠OBH，
∴BH=AE，
∵∠CAF=∠CBE，
∴∠OBH=∠CAF，
∴∠ANH=∠BOH=90°，即BH⊥AE．
分析：（1）首先證明AM=BM，得出AC=BC，進(jìn)而得出AD²+CD²=AC²=BC²，以及CD²=AD²，得出AD=AB；
（2）首先根據(jù)已知得出∠CAF=∠CBE，證明△ACF≌△BCE（ASA），即可得出答案；
（3）延長(zhǎng)BH交AE于N，由（2）可得：AE=BF，進(jìn)而得出BH=AE，即可得出∠ANH=∠BOH=90°．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了直角梯形的性質(zhì)以及全等三角形的判定、對(duì)稱點(diǎn)性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)已知正確作出輔助線是解題關(guān)鍵．