Question

如圖，已知Rt△ABC和Rt△EBC，∠B＝90°．以邊AC上的點O為圓心、OA為半徑的⊙O與EC相切，D為切點，AD∥BC．

(1)用尺規(guī)確定并標出圓心O；(不寫做法和證明，保留作圖痕跡)

(2)求證：∠E＝∠ACB

(3)若AD＝1，tan∠DAC＝，求BC的長．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1) 　　(提示：O即為AD中垂線與AC的交點或過D點作EC的垂線與AC的交點等)．能見作圖痕跡，作圖基本準確即可，漏標O可不扣分2分 　　(2)證明：連結OD．∵AD∥BC，∠B＝90°，∴∠EAD＝90°． 　　∴∠E＋∠EDA＝90°，即∠E＝90°－∠EDA． 　　又圓O與EC相切于D點，∴OD⊥EC． 　　∴∠EDA＋∠ODA＝90°，即∠ODA＝90°－∠EDA． 　　∴∠E＝∠ODA　　3分 　　(說明：任得出一個角相等都評1分) 　　又OD＝OA，∴∠DAC＝∠ODA，∴∠DAC＝∠E．4分 　　∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∴∠E＝∠ACB．5分 　　(3)Rt△DEA中，tan∠E＝，又tan∠E＝tan∠DAC＝， 　　∵AD＝1∴EA＝．6分 　　Rt△ABC中，tan∠ACB＝， 　　又∠DAC＝∠ACB，∴tan∠ACB＝tan∠DAC． 　　∴＝，∴可設． 　　∵AD∥BC，∴Rt△EAD∽Rt△EBC．7分 　　∴，即． 　　∴x＝1，∴BC＝2x＝2．8分