Question

已知拋物線(xiàn)y=x²-2x+a與直線(xiàn)y=x+1有兩個(gè)公共點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），x₂＞x₁≥0．
（1）求a的取值范圍；
（2）作AE⊥x軸于點(diǎn)E，BF⊥x軸于點(diǎn)F，求四邊形ABFE面積最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專(zhuān)題：

分析：（1）聯(lián)立直線(xiàn)和拋物線(xiàn)的解析式消去y得到的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，利用判別式大于0可求得a的取值范圍；
（2）利用（1）可表示出AE、BF、EF，表示出梯形ABFE的面積，再結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系得到關(guān)于a的函數(shù)，利用函數(shù)的增減性可求得其最大值．

解答：解：（1）∵拋物線(xiàn)y=x²-2x+a與直線(xiàn)y=x+1相交∴x²-2x+ax+1 得x²-3x+a-1=0．
由題意可知x₁，x₂是方程x²-3x+a-1=0的兩個(gè)不相等的根，
∴x₁+x₂=3，x₁•x₂=a-1，
∵x₂＞x₁≥0，
∴x₁•x₂≥0，
得a-1≥0，a≥1，
又∵△=13-4a＞0，
∴a＜

13

4

，
故1≤a＜

13

4

．
（2）∵A、B兩點(diǎn)在直線(xiàn)y=x+1上，
∴y₁=x₁+1，y₂=x₂+1，
∴AE=x₁+1，BF=x₂+1，且OE=x₁，OF=x₂，
∴EF=x₂-x₁，
∴S_{四邊形ABFE}=

1

2

（AE+BF）EF=

1

2

（x₁+1+x₂+1）（x₂-x₁）=

1

2

（x₂²-x₁²）+（x₂-x₁），
又∵x₁，x₂是方程x²-3x+a-1=0的兩根，
∴x₁²=3x₁-a+1，x₂²=3x₂-a+1，x₁x₂=a-1，x₁+x₂=3，
∴x₂²-x₁²=3（x₂-x₁），x₂-x₁=

(x1+x2)2-4x1x2

=

13-4a

∴S_{四邊形ABFE}=

5

2

（x₂-x₁）=

5

2

13-4a

，
又∵1≤a＜

13

4

，
∴a=1時(shí)，S_梯形ABFE取最大值

15

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，在（2）中利用根與系數(shù)的關(guān)系用a表示出四邊形的面積是解題的關(guān)鍵．