Question

如圖，已知直線y=2x+6與x軸、y軸分別交于A、D兩點(diǎn)，拋物線y=ax²+bx+2（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)A和點(diǎn)B（1，0）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在線段AD上取一點(diǎn)F（點(diǎn)F不與點(diǎn)A重合）．過點(diǎn)F作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)G、交x軸于點(diǎn)H．當(dāng)FG=GH時(shí)，求點(diǎn)H的坐標(biāo)；
（3）設(shè)拋物線的對稱軸與直線AD交于點(diǎn)E，拋物線與y軸的交點(diǎn)為C，點(diǎn)M在線段AB上，當(dāng)△AEM與△BCM相似時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)函數(shù)值，可得相應(yīng)自變量的值，根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)自變量的值，可得相應(yīng)函數(shù)值，根據(jù)FG=GH，可得關(guān)于a的方程，解方程，可得答案；
（3）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可得關(guān)于b的方程，解方程，可得答案．

解答：解：（1）當(dāng)y=0時(shí)，2x+6=0．解得x=-3，即A（-3，0），
由拋物線y=ax²+bx+2（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)A（-3，0）和點(diǎn)B（1，0），得

9a-3b+2=0 a+b+2=0

，
解得

a=- 2 3 b=- 4 3

．
故拋物線為y=-

2

3

x²-

4

3

x+2；
（2）設(shè)H點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，0），F(xiàn)（a，2a+6），G（a，-

2

3

a²-

4

3

a+2）．
由FG=GH，得
2a+6=2（-

2

3

a²-

4

3

a+2）．
化簡，得2a²+7a+3=0．
解得a=-

1

2

，a=-3（不符合題意要舍去），
點(diǎn)H的坐標(biāo)（-

1

2

，0）；
（3）設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為（b，0），AM=b+3，BM=1-b，
拋物線的對稱軸與直線AD交于點(diǎn)E，拋物線與y軸的交點(diǎn)為C，得
E（-1，4），C（0，2）．
由勾股定理，得
AE=2

5

，BC=

5

．
當(dāng)△AEM∽△BCM時(shí)，

AE

BC

=

AM

BM

，即

2 5

5

=

b+3

1-b

．
化簡，得3b=-1，解得b=-

1

3

，即M（-

1

3

，0）；
當(dāng)△AEM∽△BMC時(shí)，

AE

BM

=

AM

BC

，即

2 5

1-b

=

b+3

5

，
化簡，得b²+2b+7=0．實(shí)數(shù)b不存在；
綜上所述：M（-

1

3

，0）．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)綜合題，（1）利用了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，（2）利用了線段中點(diǎn)的性質(zhì)，（3）利用了相似三角形的性質(zhì)．