Question

如圖，在直角坐標系xOy中有一梯形ABCO，頂點C在x正半軸上，A、B兩點在第一象限；且AB∥CO，AO=BC=2，AB=3，OC=5．點P在x軸上，從點（-2，0）出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿x軸向正方向運動；同時，過點P作直線l，使直線l和x軸向正方向夾角為30°．設(shè)點P運動了t秒，直線l掃過梯形ABCO的面積為S_掃．
（1）求A、B兩點的坐標；
（2）當t=2秒時，求S_掃的值；
（3）求S_掃與t的函數(shù)關(guān)系式，并求出直線l掃過梯形ABCO面積的時點P的坐標．

Answer 1

解：（1）（1，），（4，）．

（2）．

（3）當0≤t＜2時，△AEF∽△AOD，，
∴S_掃=t²；
當2≤t＜3時，S_掃=S_△AOD+S_□DOPF=（t-2）
∴S_掃=t-；
當3≤t≤7時，
S_掃=4-S_△CPM=4-2×
∴S_掃=-t²+t-，
∵-t²+t-=×4，
∴t²-14t+41=0，
t₁=7-2，t₂=7+2＞7（舍）
∴P的坐標為（5-2，0）．
分析：（1）兩底的差的一半就是A的橫坐標；過A、B作x軸的垂線，在構(gòu)建的直角三角形中根據(jù)OA的長及兩底的差便可求出梯形的高即A點的縱坐標．得出A點坐標后向右平移3個單位就是B點的坐標．
（2）當t=2時，P、O兩點重合，如果設(shè)直線l與AB的交點為D，那么AD=2，而AD邊上的高就是A點的縱坐標，由此可求出△ADO的面積及直線l掃過的面積．
（3）本題要分三種情況進行討論：
①當P在原點左側(cè)，即當0≤t＜2時，重合部分是個三角形，如果設(shè)直線l與AO，AB分別交于E，F(xiàn)，可根據(jù)△AEF∽△AOD，用相似比求出其面積．即可得出S，t的函數(shù)關(guān)系式．
②當P在O點右側(cè)（包括和O重合），而F點在B點左側(cè)時，即當2≤t＜3時，掃過部分是個梯形，可根據(jù)梯形的面積計算方法即可得出直線l掃過部分的面積．也就能得出S，t的函數(shù)關(guān)系式．
③當P點在C點左側(cè)（包括和C點重合），F(xiàn)點在B點右側(cè)（包括和B點重合），即當3≤t≤7時，掃過部分是個五邊形，可用梯形ABCO的面積減去△MPC的面積來得出S，t的函數(shù)關(guān)系式．
點評：本題考查了梯形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的綜合應(yīng)用等知識點．主要考查了學生分類討論和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法．