Question

如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點(diǎn)A、C在x軸上，點(diǎn)B坐標(biāo)為（3，m）（m＞0），線段AB與y軸相交于點(diǎn)D，以P（1，0）為頂點(diǎn)的二次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)B、D．
（1）用m的代數(shù)式表示點(diǎn)A、D的坐標(biāo)；
（2）求這個(gè)二次函數(shù)關(guān)系式；
（3）點(diǎn)Q（x，y）為二次函數(shù)圖象上點(diǎn)P至點(diǎn)B之間的一點(diǎn)，連接PQ、BQ，當(dāng)x為何值時(shí)，四邊形ABQP的面積最大？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)點(diǎn)C的坐標(biāo)求出OC、BC的長(zhǎng)度，再根據(jù)等腰直角三角形的兩直角邊相等可定的AC=BC，然后求出OA的長(zhǎng)度，從而得到點(diǎn)A的坐標(biāo)，再根據(jù)∠OAD=45°求出OD=OA，從而得到點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）利用頂點(diǎn)式設(shè)出二次函數(shù)解析式，然后把點(diǎn)B、D的坐標(biāo)代入，根據(jù)待定系數(shù)法求解即可；
（3）根據(jù)拋物線解析式設(shè)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，然后過(guò)點(diǎn)Q作QM⊥AC于點(diǎn)M，再根據(jù)S_{四邊形ABQP}=S_△ABC-S_△PQM-S_梯形BCMQ，然后根據(jù)三角形的面積公式以及梯形的面積公式列式整理，再根據(jù)二次函數(shù)的最值問(wèn)題求解即可．

解答：解：（1）由B（3，m）可知OC=3，BC=m，
又∵△ABC為等腰直角三角形，
∴AC=BC=m，OA=m-3，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是（3-m，0），
∵∠ODA=∠OAD=45°，
∴OD=OA=m-3，
則點(diǎn)D的坐標(biāo)是（0，m-3）；

（2）又拋物線頂點(diǎn)為P（1，0），且過(guò)點(diǎn)B、D，
所以可設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x-1）²，
將D，B坐標(biāo)代入：a（3-1）²=m，a（0-1）²=m-3，
得：a=1，m=4，
∴拋物線的解析式為y=x²-2x+1，
B坐標(biāo)（3，4），A（-1，0）；

（3）如圖，過(guò)點(diǎn)Q作QM⊥AC于點(diǎn)M，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（x，x²-2x+1），
則PM=（x-1），QM=x²-2x+1，MC=（3-x），
∴S_{四邊形ABQP}=S_△ABC-S_△PQM-S_梯形BCMQ，
=

1

2

×4×4-

1

2

•（x-1）•（ x²-2x+1）-

1

2

•（3-x）•（ x²-2x+1+4）
=-x²+4x+1
=-（x-2）²+5，
所以當(dāng)x=2時(shí)，四邊形ABQP的面積最大為5．

點(diǎn)評(píng)：本題是對(duì)二次函數(shù)的綜合考查，點(diǎn)的坐標(biāo)，等腰直角三角形的性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的最值問(wèn)題，以及三角形的面積，梯形的面積公式，難點(diǎn)在于用字母表示數(shù)，以及利用“割補(bǔ)法”求不規(guī)則圖形的面積，需熟練掌握．