Question

如圖所示，∠ABC=90°，AB=BC，AE是角平分線，CD⊥AE于D，可得CD=AE，請說明理由．

Answer 1

解：如答圖所示，延長CD交AB的延長線于點(diǎn)F
∵AE平分∠CAB，
∴∠1=∠2
又∵AD⊥CF
∴∠ADC=∠ADF=90°
又∵AD=AD
∵在△ACD和△AFD中
，
∴△ACD≌△AFD（ASA）
∴CD=DF=CF
∵∠ABC=90°
∴∠2+∠AEB=90°
又∵CD⊥AE于D，
∴∠CDE=90°
∴∠3+∠CED=90°
∵∠AEB=∠CED
∴∠3=∠2
在△ABE和△CBF中，
∵，
∴△ABE≌△CBF（ASA）
∴AE=CF
∴CD=AE
分析：如圖所示，延長CD交AB的延長線于點(diǎn)F，這樣利用了AD構(gòu)造全等三角形△ACD和△AFD，找到CD=DF=CF，這樣把問題轉(zhuǎn)換成證明CF=AE，而要證明它們相等，通過證明△ABE≌△CBF得到．
點(diǎn)評：此題考查了等腰三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)；解題關(guān)鍵是如何利用角平分線，通常是通過作輔助線利用角平分線來構(gòu)造全等三角形，從而把已知條件轉(zhuǎn)化到全等三角形中，利用全等三角形的性質(zhì)解決問題．