Question

如圖，A，B是⊙O上的兩個(gè)定點(diǎn)，P是⊙O上的動(dòng)點(diǎn)（P不與A，B重合），我們稱∠APB是⊙O上關(guān)于A、B的滑動(dòng)角

（1）已知∠APB是⊙O上關(guān)于點(diǎn)A、B的滑動(dòng)角，
①若AB是⊙O的直徑，則∠APB=      °；
②若⊙O的半徑是1，AB=，求∠APB的度數(shù)；
（2）已知O₂是⊙O₁外一點(diǎn)，以O(shè)₂為圓心作一個(gè)圓與⊙O₁相交于A、B兩點(diǎn)，∠APB是⊙O₁上關(guān)于點(diǎn)A、B的滑動(dòng)角，直線PA、PB分別交⊙O₂于M、N（點(diǎn)M與點(diǎn)A、點(diǎn)N與點(diǎn)B均不重合），連接AN，試探索∠APB與∠MAN、∠ANB之間的數(shù)量關(guān)系，直接寫出結(jié)論．

Answer 1

(1) ①90°②∠APB=135°
（2）∠APB=∠MAN-∠ANB；∠APB=∠MAN+∠ANB－180°；
∠APB=180°－∠MAN－∠ANB；∠APB=∠MAN+∠ANB

解析試題分析：（1）①90°
②如圖，連接AB、OA、OB．
在△AOB中，∵OA=OB=1．AB= ，∴OA²+OB²=AB²
∴∠AOB=90°。
當(dāng)點(diǎn)P在優(yōu)弧 AB 上時(shí)（如圖1），∠APB= ∠AOB=45°；

當(dāng)點(diǎn)P在劣弧 AB 上時(shí)（如圖2），

∠APB= （360°－∠AOB）=135°。
（2）根據(jù)點(diǎn)P在⊙O1上的位置分為以下四種情況．
第一種情況：點(diǎn)P在⊙O2外，且點(diǎn)A在點(diǎn)P與點(diǎn)M之間，點(diǎn)B在點(diǎn)P與點(diǎn)N之間，如圖3，

∵∠MAN=∠APB+∠ANB，
∴∠APB=∠MAN-∠ANB。
第二種情況：點(diǎn)P在⊙O2外，且點(diǎn)A在點(diǎn)P與點(diǎn)M之間，點(diǎn)N在點(diǎn)P與點(diǎn)B之間，如圖4，

∵∠MAN=∠APB+∠ANP=∠APB+（180°－∠ANB），
∴∠APB=∠MAN+∠ANB－180°。
第三種情況：點(diǎn)P在⊙O2外，且點(diǎn)M在點(diǎn)P與點(diǎn)A之間，點(diǎn)B在點(diǎn)P與點(diǎn)N之間，如圖5，

∵∠APB+∠ANB+∠MAN=180°，
∴∠APB=180°－∠MAN－∠ANB。
第四種情況：點(diǎn)P在⊙O2內(nèi)，如圖6，

∠APB=∠MAN+∠ANB。
考點(diǎn)：圓周角定理；勾股定理逆定理；三角形內(nèi)角和定理和外角性質(zhì)
點(diǎn)評：難度中等，關(guān)鍵在于分類討論，區(qū)分點(diǎn)P在優(yōu)弧和劣弧上兩種情況討論。