Question

如圖1，以矩形ABCD的頂點A為原點，AD所在的直線為x軸，AB所在的直線為y軸，建立平面直角坐標系．點D的坐標為（8，0），點B的坐標為（0，6），點F在對角線AC上運動（點F不與點A，C重合），過點F分別作x軸、y軸的垂線，垂足為G，E．設四邊形BCFE的面積為S₁，四邊形CDGF的面積為S₂，△AFG的面積為S₃．
（1）試判斷S₁，S₂的關系，并加以證明；
（2）當S₃：S₂=1：3時，求點F的坐標；
（3）如圖2，在（2）的條件下，把△AEF沿對角線AC所在直線平移，得到△A′E′F′，且A′，F(xiàn)′兩點始終在直線AC上，是否存在這樣的點E′，使點E′到x軸的距離與到y(tǒng)軸的距離比是5：4？若存在，請求出點E′的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）S₁=S₂
證明：∵FE⊥y軸，F(xiàn)G⊥x軸，∠BAD=90°，
∴四邊形AEFG是矩形．
∴AE=GF，EF=AG．
∴S_△AEF=S_△AFG，
同理S_△ABC=S_△ACD．
∴S_△ABC-S_△AEF=S_△ACD-S_△AFG．
即S₁=S₂．

（2）∵FG∥CD，
∴△AFG∽△ACD．
∴．
∴FG=CD，AG=AD．
∵CD=BA=6，AD=BC=8，
∴FG=3，AG=4．
∴F（4，3）；

（3）∵△A′E′F′是由△AEF沿直線AC平移得到的，且A′、F′兩點始終在直線AC上，
∴點E′在過點E（0，3）且與直線AC平行的直線l上移動．
∵直線AC的解析式是y=x，
∴直線L的解析式是y=x+3．
設點E′為（x，y），
∵點E′到x軸的距離與到y(tǒng)軸的距離比是5：4，
∴|y|：|x|=5：4．
①當x、y為同號時，得解得，
∴E′（6，7.5）；
②當x、y為異號時，得解得，
∴E′（，）．
∴存在滿足條件的E′坐標分別是（6，）、（，）．
分析：（1）兩者應該相等，由于四邊形ADCB是矩形，那么對角線平分矩形的面積，同理OF也平分矩形AEFG的面積，由此就不難得出S₁=S₂了；
（2）S₃：S₂=1；3，也就能得出S_△AGF：S_△ADC=1：4，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方，可得出OF：OC=1：2，即F為OC中點．由此可根據(jù)C、D的坐標直接求出F的坐標；
（3）由于A′F′始終在OC上，因此EE′所在的直線必平行于OC，可先求出直線EE′的解析式，然后根據(jù)E′橫、縱坐標的比例關系來設出E′的坐標，代入直線EE′中即可求出E′A的坐標．
點評：本題主要考查了矩形的性質(zhì)、圖形面積的求法、一次函數(shù)的應用等知識點．要注意的是（3）題在不確定E′橫、縱坐標的符號時，要分類討論，不要漏解．