Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，頂點為的拋物線：()經過點和軸上的點，，．

（1）求該拋物線的表達式；

（2）聯(lián)結，求；

（3）將拋物線向上平移得到拋物線，拋物線與軸分別交于點(點在點的左側)，如果與相似，求所有符合條件的拋物線的表達式．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）拋物線為：或．

【解析】

（1）根據題意，可以寫出點B和點A的坐標，從而可以得到該拋物線的表達式；

（2）根據（1）中的函數(shù)解析式，可以求得點M的坐標，從而可以求得直線AM的函數(shù)解析式，從而可以求得S△AOM；

（3）根據題意，利用分類討論的方法和三角形相似的知識可以求得點F的坐標，從而可以求得拋物線C2的表達式．

解：（1）過作軸，垂足為，

∵，∴

∵

∴，．

∵，

∴．

在中，，

∴．

∴

∵拋物線：經過點，

∴可得：，

解得：

∴這條拋物線的表達式為；

（2）過作軸，垂足為，

∵=

∴頂點是，得

設直線AM為y=kx+b，

把，代入得，解得

∴直線為

令y=0，解得x=

∴直線與軸的交點為

∴

（3）∵、，

∴在中，，

∴．

∴．由拋物線的軸對稱性得：，

∴．

∵，

∴

∴．

∴當與相似時，有：或

即或，

∴或．

∴或

設向上平移后的拋物線為：，

當時，，

∴拋物線為：

當時，，

∴拋物線為：．

綜上：拋物線為：或．