Question

12．如圖，在△ABC中，⊙O經(jīng)過A、B兩點，圓心O在BC邊上，且⊙O與BC邊交于點E，在BC上截取CF=AC，連接AF交⊙O 于點D，若點D恰好是$\widehat{BE}$的中點．
（1）求證：AC是⊙O的切線；
（2）若BF=17，DF=13，求⊙O的半徑r；
（3）若∠ABC=30°，動直線l從與點A、O重合的位置開始繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，到與OC重合時停止，設(shè)直線l與AC的交點為F，點Q為OF的中點，過點F作FG⊥BC于G，連接AQ、QG．請問在旋轉(zhuǎn)過程中，∠AQG的大小是否變化？若不變，求出∠AQG的度數(shù)；若變化，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）連接OA、OD，求出∠D+∠OFD=90°，推出∠CAF=∠CFA，∠OAD=∠D，求出∠OAD+∠CAF=90°，根據(jù)切線的判定推出即可；
（2）OD=r，OF=8-r，在Rt△DOF中根據(jù)勾股定理得出方程r²+（17-r）²=13²，求出即可；
（3）在旋轉(zhuǎn)過程中∠AQG的大小不變．由切線的性質(zhì)和已知條件推知：AQ=OQ=FQ=GQ．則點A、O、G、F在以點Q為圓心，QO為半徑的圓上，結(jié)合圓周角定理得到：∠AQG=120°．即在旋轉(zhuǎn)過程中∠AQG的大小不變，始終等于120°．

解答 （1）證明：連接OA、OD，如圖，
∵D為弧BE的中點，
∴∠BOD=∠DOE=90°，
∴∠D+∠OFD=90°，
∵AC=FC，OA=OD，
∴∠CAF=∠CFA，∠OAD=∠D，而∠CFA=∠OFD，
∴∠OAD+∠CAF=90°，即∠OAC=90°，
∴OA⊥AC，
∴AC是⊙O切線；

（2）OD=r，OF=17-r，在Rt△DOF中，r²+（17-r）²=13²，
解得r=5（舍去），r=12；即⊙O的半徑r為12，

（3）在旋轉(zhuǎn)過程中∠AQG的大小不變．
由（1）知，AC是⊙O切線，則∠OAC=90°．
∵FG⊥BC，
∴∠OGF=90°．
∵點Q是OF的中點，
∴AQ=OQ=FQ=GQ．
∴點A、O、G、F在以點Q為圓心，QO為半徑的圓上，
∴∠AQG=2∠AOG．
∵∠ABC=30°，
∴∠AOC=60°．
∴∠AQG=120°．
∴在旋轉(zhuǎn)過程中∠AQG的大小不變，始終等于120°．

點評 本題考查了幾何變換綜合題，需要掌握切線的判定，等腰三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理等知識點的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理和計算的能力．