Question

5．如圖，直線y=mx+4與反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的圖象交于點A、B，與x軸、y軸分別交于D、C，tan∠CDO=2，AC：CD=1：2．
（1）求反比例函數(shù)解析式；
（2）聯(lián)結BO，求∠DBO的正切值；
（3）點M在直線x=-1上，點N在反比例函數(shù)圖象上，如果以點A、B、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形，求點N的坐標．

Answer 1

分析 （1）先求出C點坐標，再由tan∠CDO=2可得出D點坐標，進而可得出直線y=mx+4的解析式，根據AC：CD=1：2可得出A點坐標，進而得出反比例函數(shù)的解析式；
（2）過點O作OE⊥AB于點E，根據直角三角形的面積公式求出OE的長，再由△ODE∽△CDO得出DE的長，根據銳角三角函數(shù)的定義即可得出結論；
（3）設M（-1，y），N（x，$\frac{6}{x}$），再分AB、AN、AM為平行四邊形的對角線即可得出結論．

解答 解：（1）∵直線y=mx+4與y軸交與點C，
∴C（0，4）．
∵tan∠CDO=2，
∴OD=2，即D（-2，0），
∴-2m+4=0，解得m=2，CD=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴直線y=mx+4的解析式為y=2x+4．
設A（x，2x+4），
∵AC：CD=1：2，
∴AC=$\sqrt{5}$，
∴$\sqrt{{x}^{2}-（2x+4-4）^{2}}$=$\sqrt{5}$，解得x=±1，
∵點A在第一象限，
∴x=1，
∴A（1，6）．
∵點A在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象上，
∴k=6，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=$\frac{6}{x}$；

（2）過點O作OE⊥AB于點E，
∵OD=2，OC=4，CD=2$\sqrt{5}$，
∴OE=$\frac{OD•OC}{CD}$=$\frac{2×4}{2\sqrt{5}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．
∵∠ODE=∠ODE，∠OED=∠COD，
∴△ODE∽△CDO，
∴$\frac{OD}{CD}$=$\frac{DE}{OD}$，即DE=$\frac{{OD}^{2}}{CD}$=$\frac{4}{2\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
∵$\left\{\begin{array}{l}y=2x+4\\ y=\frac{6}{x}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=6\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x=-3\\ y=-2\end{array}\right.$，
∴B（-3，-2）．
∴BD=$\sqrt{（-3+2）^{2}+（-2）^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴BE=BD+DE=$\sqrt{5}$+$\frac{2\sqrt{5}}{5}$=$\frac{7\sqrt{5}}{5}$，
∴tan∠DBO=$\frac{OE}{BE}$=$\frac{\frac{4\sqrt{5}}{5}}{\frac{7\sqrt{5}}{5}}$=$\frac{4}{7}$．

（3）設M（-1，y），N（x，$\frac{6}{x}$），
∵A（1，6），B（-3，-2），
∴當AB為平行四邊形的對角線時，$\frac{-3+1}{2}$=$\frac{-1+x}{2}$，解得x=-1，
∴N（-1，-6）；
當AN為平行四邊形的對角線時，x+1=-3-1，解得x=-5，
∴N（-5，-$\frac{6}{5}$）；
當AM為平行四邊形的對角線時，0=x-3，解得x=3，
∴N（3，2）．
綜上所述，N（-1，-6）或（-5，-$\frac{6}{5}$）或（3，2）．

點評 本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，涉及到反比例函數(shù)圖象上點的坐標特點、平行四邊形的判定及銳角三角函數(shù)的定義等知識，在解答（3）時要注意進行分類討論．