Question

在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=-x²+bx+c與x軸交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸的正半軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為E。
（Ⅰ）若b=2，c=3，求此時(shí)拋物線頂點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（Ⅱ）將（Ⅰ）中的拋物線向下平移，若平移后，在四邊形ABEC中滿足S_△BCE=S_△ABC，求此時(shí)直線BC的解析式；
（Ⅲ）將（Ⅰ）中的拋物線作適當(dāng)?shù)钠揭�，若平移后，在四邊形ABEC中滿足S_△BCE=2S_△AOC，且頂點(diǎn)E恰好落在直線y=-4x+3上，求此時(shí)拋物線的解析式。

Answer 1

解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，拋物線的解析式為， 即， ∴ 拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，4）；
（Ⅱ）將（Ⅰ）中的拋物線向下平移，則頂點(diǎn)E在對稱軸x=1上，有b=2， ∴拋物線的解析式為（c>0）， ∴此時(shí)，拋物線與y軸的交點(diǎn)為，頂點(diǎn)為， ∵方程的兩個(gè)根為，， ∴此時(shí)，拋物線與x軸的交點(diǎn)為， 如圖，過點(diǎn)作EF∥CB與x軸交于點(diǎn)F，連接CF，則S△BCE=S△BCF， ∵S△BCE = S△ABC， ∴S△BCF=S△ABC， ∴， 設(shè)對稱軸x=1與x軸交于點(diǎn)D，則， 由EF∥CB，得， ∴Rt△EDF∽R(shí)t△COB， 有， ∴， 結(jié)合題意，解得， ∴點(diǎn)， 設(shè)直線BC的解析式為，則 解得 ∴直線的解析式為；
（Ⅲ）根據(jù)題意，設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為， 則拋物線的解析式為， 此時(shí)，拋物線與y軸的交點(diǎn)為，與x軸的交點(diǎn)為， 過點(diǎn)E作EF∥CB與x軸交于點(diǎn)F，連接CF， 則S△BCE=S△BCF， 由S△BCE=2S△AOC， ∴S△BCF=2S△AOC， 得， 設(shè)該拋物線的對稱軸與x軸交于點(diǎn)D， 則， 于是，由Rt△EDF∽R(shí)t△COB，有， ∴， 即， 結(jié)合題意，解得，① ∵點(diǎn)在直線上，有，② ∴由①②，結(jié)合題意，解得， 有， ∴拋物線的解析式為。