Question

如圖，正方形ABCD中，E、F均為中點(diǎn)，則下列結(jié)論中：
①AF⊥DE；②AD=BP；③PE+PF=

2

PC；④PE+PF=PC．
其中正確的是（　　）

A．①④

B．①②④

C．①③

D．①②③

Answer 1

分析：根據(jù)正方形性質(zhì)得出AD=DC=BC；∠ADC=∠DCB；EC=DF=

1

2

DC，證△ADF≌△DCE，推出∠AFD=∠DEC，求出∠DPF=90°即可判斷①；過B作BG∥DE交AD于G，交A于M，求出BG是AP的垂直平分線，推出△ABP是等腰三角形，即可判斷②；延長DE至N，使得EN=PF，證△CEN≌△CFP，推出CN=CP，∠ECN=∠PCF，求出△NCP是等腰直角三角形，即可判斷③④．

解答：解：如圖1，
∵正方形ABCD，E，F(xiàn)均為中點(diǎn)，
∴AD=DC=BC，∠ADC=∠DCB，EC=DF=

1

2

DC，
∵在△ADF和△DCE中，

AD=DC ∠ADF=∠DCE DF=CE

，
∴△ADF≌△DCE（SAS），
∴∠AFD=∠DEC
∵∠DEC+∠CDE=90°
∴∠AFD+∠CDE=90°=∠DPF
∴AF⊥DE，∴①正確；
如圖2，
過B作BG∥DE交AD于G，交AP于M，
∵AF⊥DE，BG∥DE，E是BC中點(diǎn)，
∴BG⊥AP，G是AD的中點(diǎn)，
∴BG是AP的垂直平分線，
∴△ABP是等腰三角形
∴BP=AB=AD，∴②正確；
如圖3，
延長DE至N，使得EN=PF，連接CN，
∵∠AFD=∠DEC 
∴∠CEN=∠CFP
又∵E，F(xiàn)分別是BC，DC的中點(diǎn)，
∴CE=CF，
∵在△CEN和△CFP中，

CE=CF ∠CEN=∠CFP EN=PF

，
∴△CEN≌△CFP（SAS），
∴CN=CP，∠ECN=∠PCF，
∵∠PCF+∠BCP=90°
∴∠ECN+∠PCP=∠NCP=90°
∴△NCP是等腰直角三角形
∴PN=PE+NE=PE+PF=

2

PC，∴③正確，④錯(cuò)誤；
∴①②③正確．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，線段垂直平分線性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和判定，垂直定義等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用，主要考查學(xué)生的推理能力和辨析能力，綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度．