Question

已知：邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中，M、N分別是BC、CD上的點(diǎn)．
（1）若MN=BM+ND，求證：∠MAN=45°；
（2）若△MNC得周長(zhǎng)為2，求∠MAN的度數(shù)．

Answer 1

（1）證明：延長(zhǎng)CB到E，使BE=DN，連接AE，
∵∠D=∠B=90°，AD=AB，DN=BE，
∴∠ABE=∠D=90°，
∴△ABE≌△ADN．
∴AE=AN，∠BAE=∠DAN，
∵M(jìn)N=BM+ND=BM+BE=ME，AM=AM，
∴△AME≌△AMN（SSS），
∴∠EAM=∠NAM．
∴∠MAN=∠MAE=∠BAE+∠BAM=∠DAN+∠BAM，
∵∠EAN=90°，
∴∠MAN=45°．

（2）解：如圖，延長(zhǎng)CB到E，使BE=DN，連接AE，
∵∠D=∠B=90°，AD=AB，DN=BE，
∴∠ABE=∠D=90°，
∴△ABE≌△ADN．
∴AE=AN，∠BAE=∠DAN，
∴∠EAN=∠DAB=90°，
又MN=2-CN-CM=DN+BM=BE+BM=ME，
∴△AMN≌△AME，
∴∠MAN=∠MAE=45°．
分析：（1）延長(zhǎng)CB到E，使BE=DN，連接AE，因?yàn)椤螪=∠B，AD=AB，DN=BE，所以△ABM≌△ADN，則有∠BAM=∠DAN，AN=AE，又因?yàn)镸N=BM+DN，BM=DN，所以△AEM≌△ANM，故∠EAM=∠NAM=∠EAN=90°，即∠MAN=45°；
（2）延長(zhǎng)CB至E，使BE=DN，則Rt△ABE≌Rt△AND，故AE=AN，進(jìn)而求證△AMN≌△AME，即可求得∠MAN=∠MAE=45°．
點(diǎn)評(píng)：此題把全等三角形的判定和性質(zhì)結(jié)合求解，有利于培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力．