Question

【題目】如圖，為矩形對角線，的交點(diǎn)，，是直線上的動點(diǎn)，且，則的最小值是_________．

Answer 1

【答案】

【解析】

如圖所示，作點(diǎn)O關(guān)于BC的對稱點(diǎn)P，連接PM，將MP沿著MN的方向平移MN長的距離，得到NQ，連接PQ，則四邊形MNQP是平行四邊形;再利用平行四邊形的性質(zhì)以及軸對稱的性質(zhì)，可得當(dāng)O，N，Q在同一直線上時(shí)，OM+ON的最小值等于OQ長，即可完成解答．

解：如圖所示，作點(diǎn)O關(guān)于BC的對稱點(diǎn)P，連接PM，將MP沿著MN的方向平移MN長的距離，得到NQ，連接PQ，則四邊形MNQP是平行四邊形，

∵MN=PQ=1，PM=NQ=MO，

∴OM+ON=QN+ON，

∴當(dāng)O，N，Q在同一直線上時(shí)，OM+ON的最小值等于OQ長，

連接PO，交BC于E，

∴BC垂直平分OP，

又∵矩形ABCD中，OB=OC，

∴E是BC的中點(diǎn)，

∴OE是△ABC的中位線，

∴OE=AB=2，

∴OP=2×2=4，

又∵PQ//MN，

∴PQ⊥OP，

∴Rt△OPQ中，OQ=

∴OM+ON的最小值是；

故答案為：．