Question

已知三整數(shù)a，b，c之和為13，且

b

a

=

c

b

，求a的最大值和最小值，并求出此時相應的b與c的值．

Answer 1

設

b

a

=

c

b

=x，則b=ax，c=ax²，由a+b+c=13化為a（x²+x+1）=13．
∵a≠0，
∴x²+x+1-

13

a

=0      ①
又因為a，b，c為整數(shù)，則方程①的解必為有理數(shù)．
即△=1-4（1-

13

a

）=

52

a

-3＞0，
解得1≤a＜

52

3

，且

△

為有理數(shù)．
故1≤a≤16
當a=1時，方程①化為x²+x-12=0．
解得x₁=-4，x₂=3，
故a_min=1，b=-4，c=16；a_min=1，b=3，c=9．
當a=16時，方程①化為x²+x+

3

16

=0．
解得x₁=-

3

4

，x₂=-

1

4

．
故a_max=16，b=-12，c=9；a_max=16，b=-4，c=1．